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清华大学2017年领军计划试题

清华大学2017年自主招生与领军计划数学试题(1)设函数2()xx f x ee ax =+-,若对0,()2xf x ∀≥≥,则实数a 的取值范围是()(,3]A -∞ ()[3,)B +∞ ()(,2]C -∞ ()[2,)D +∞解答:问题等价于22x x e e ax +≥+在[0,)+∞上恒成立;记2()xx g x e e =+,()2h x ax =+,两函数均过(0,2),且(0)3g '=,可知(,3]a ∈-∞.答案A.(2)设,A B 为两个随机事件,且,0()1A B P A ⊂<<,则()()1()A P AB P B =- ()()1()B P AB P B =-()(|)()C P B A P B = ()(|)()D P B A P B =解答:(A )()1()1()P AB P AB P A =-=-,所以A 错;(B )()()1()1()P AB P A B P A B P B ==-=-,所以B 对;(C )()()(|)1()()P AB P A P B A P A P A ===,所以C 错; (D )()()()(|)1()1()P B A P B P A P B A P A P A --==--,所以D 错;答案B.(3)从0,1,2,,9中选出三个不同数字组成四位数(其中的一个数字用两次),如5242,这样的四位数共有()1692A 个 (B)3672个 (C)3708个 (D)3888个解答:十个数中先选出3个数,再从中选出一个作为用两次的,再选出两个位置放这个数,剩下两个数再排列一下,共有32104324320C C ⨯⨯⨯=个.下面考虑0被排在了首位的情况:1°0在后三位还出现了一次:则在剩下9个数中再选两个,于是有293!216C ⨯=个.2°0只出现在首位:则在剩下9个数中再选两个,其中一个重复两次,于是有2923216C ⨯⨯=个.于是符合题目要求的四位数共有43202162163888--=个. 答案D.(4)已知集合{1,0,1}M =-,{2,3,4,5,6}N =,设映射:f M N →满足:对任意的,()()x M x f x xf x ∈++是奇函数,这样的映射f 的个数()25A (B)45 (C)50 (D)100解答:设()()()g x x f x xf x =++则(1)1g -=-,(0)(0)g f =,(1)12(1)g f =+,(1),(1)g g -均为奇数,所以只需令(0)f 为奇数,所以共有52550⨯⨯=种选择. 答案C.(5)若关于x 的方程12cos(1)0x a x -+-=只有一个实数解,则实数a 的值()1A -等于 (B)1等于 (C)2等于 (D)不唯一解答:显然12x -与cos(1)a x -均关于1x =对称,若有1x =之外的解,则均成对出现,所以要只有一个解,则只能在1x =处,此时1a =- 当1a =-时,1x ≠时121x ->,1cos(1)1a x -≤-≤,确实只有1x =一个解.答案A.(6)设,a b 为非零向量,且2b a =,则b 与b a -夹角的最大值为(B )()12A π(B)6π(C)4π(D)3π 解答:因为2b a =,取OD b =,则平移向量a 的起点到点O ,则向量a 的终点在以O 为圆心,以2b 为半径的圆上,则b 与b a -夹角为COD ∠,根据几何意义可知,当CD 与圆O相切时,夹角最大,此时,OC CD ⊥,则1sin 2OC COD OD ∠==,则6COD π∠=. 所以0,6πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 答案B.(7)已知三棱锥P ABC -的底面为边长为3的正三角形,且3,4,5,PA PB PC ===则P ABC -的体积为(C )()3A解答:因为3AB AC AP ===,过点A 向面PBC 作垂线PH ,因为斜边长相等,则射影相等,可知H 到顶点,,P B C 距离相等,因此H 为PBC 的外心,因为PBC 为直角三角形,所以H 为PC 的中点.AH ⊥平面PBC,则2AH ==,所以113432P ABC A PBC V V --==⋅⋅⋅=答案C.(8)设函数432()2(2)2(12)41f x x x m x m x m =-++-+++,若对任意的实数,()0,x f x ≥则实数m 的取值范围是(A )()[0,)A +∞ 1()[,)2B +∞ ()[0,1]C 1()[,1]2D解答::()4322()02221440f x x x x x m x x ≥⇔-+-++-+≥即()()()()()2224322442221211m x x x x x x m x x x-+≥--+-+⇔-≥--+则,题目等价于对任意的实数,x ()()()222211m x x x-≥--+恒成立,当2x =时,不等式显然成立,当2x ≠时,题目等价于对任意的实数,x ()()()222112x x m x -+≥--恒成立, 因为()()()2221102x x x -+-≤-,而且0能取到,所以()()()222112x x x -+--的最大值为0, 因此0m ≥. 答案A.(9)设正实数,,,x y z w 满足22020x y z w yz wx z y --+=⎧⎪-=⎨⎪≥⎩,则z y 的最小值为 D()62A + ()622B + ()632C + ()642D +解答:设z t z yt y =⇒=,则22(2)21x w y t y t wx t +=+⎧⎪=⎨⎪≥⎩,由均值不等式可得,22(2)22(2)8y t xw y t xw +≥⇔+≥, 又因为22y t wx =,所以222(2)16y t y t +≥,则2(2)16642,642t t t t +≥⇔≥+≤-,又因为1t ≥,所以642t ≥+, 答案D.(10)给定圆O 及圆内一点P ,设,A B 是圆O 的两个动点,满足90APB ︒∠=,则AB 的中点的轨迹为 (A)()A 一个圆 ()B 一个椭圆 ()C 一段双曲线 ()D 一段抛物线解答:如图,建立平面直角坐标系,不妨假设圆O 的方程为222,x y R +=()(),00P m m R ≤<,则OM AB ⊥,所以222AM OA OM =-,因为AM PM =,所以222PM OA OM =-, 设(),M x y ,则22222()x m y R x y -+=--化简得:2222m x y mx 22R +-+=,即2222x y 224m R m ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭, 所以轨迹为一个圆. 答案A.(11)方程23100x y z ++=的非负整数解的个数是()883A ()884B ()885C ()886D 解答:令2x y t +=,先研究3100t z +=的解的个数,然后对于t 的每一个可能的取值0t ,分别研究02x y t +=的解的个数.将未知问题(三元)转化为已知问题(二元)去解决。

具体来说:3100t z +=的非负整数解有34组,其中32,134n t n n =-≤≤,所以,总组数(258...50)8842S =-++++=. 答案B .(12)设整数123,,a a a 满足124(1,2,3),k a k ≤≤=且对任意整数x ,2123234a x a x a ++是24的倍数,满足条件的有序数组123(,,)a a a 的个数为()12A ()24B ()36C ()48D解答:令0x =,易得36|a ,所以3a 可能的取值有4种;下面分析21224|23a x a x +即可;令2x =,易得24|a ;令1x =,易得13|a ; 因此,设123,4a p a q ==,其中18,16p q ≤≤≤≤,,p q Z ∈ 更进一步讨论,有:224|612px qx +,即24|2px qx +,因为奇数的平方模4余1,偶数的平方模4余0,所以只需4|2p q +,即可满足题意;当2p =时,1,3,5q =; 当4p =时,2,4,6q =; 当6p =时,1,3,5q =; 当8p =时,2,4,6q =; 因此总共有44348⨯⨯=种情况. 答案D .(13)设,,A B C 是三角形的三个内角,则sin sin sin A B C +的最大值3()2A 等于 ()B()2C 等于()D 不存在 解答:积化和差:cos()cos()111sin sin sin sin sin cos 2222B C B C A B C A A A --++=+≤++≤取等条件显然能取到,从而选C . 答案C .(14)设222cossin ,()2,55w i P x x x ππ=+=++则234()()()()P w P w P w P w = ()9A ()10B ()11C ()12D解答:4221122()()()()12124P w P w P w P w w w w w w w==++++++++ 2344632244w w w w w w =++++=++; 2282321()()44P w P w w w w w=++=++;所以2342342211()()()()164()()()P w P w P w P w w w w w w w w w=+++++++331112()11w w w w=++++=,答案C .(15)设126,,,a a a 是1,2,3,4,5,6的排列,且满足1234565101050a a a a a a -+-+-=,则这种排列的个数是()5A ()6B ()7C ()8D解答:首先若(126,,,a a a )满足题意,则(651,,,a a a )也满足题意,所以答案一定是偶数;由题意,165|a a -,所以166,1a a ==(或对换),此时有:25341()2()0a a a a --+-=,所以25a a -为奇数,下面分类讨论:若342a a -≥,有255a a -≥,矛盾;若341a a -=,则253a a -=,从而25345,2,4,3a a a a ====; 若341a a -=-,则251a a -=-,此时对应两种情况; 若342a a -=-,则253a a -=-,此时无解; 其它情况无解;综上,满足题意的排列有6种. 答案B .(16)设{1,2,3,4}(1,2,3,4)k a k ∈=,对于有序数组1234(,,,)a a a a ,记1234(,,,)N a a a a 为1234,,,a a a a 中所包含的不同整数的个数,例如(1,1,2,2)2N =,(1,2,3,1) 3.N =当1234(,,,)a a a a 取遍所有的44个有序数组时,1234(,,,)N a a a a 的平均值为173()64A 87()32B 175()64C 11()4D 解答:首先1234(,,,)N a a a a 的取值有4种情况。

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