第2期2012年3月电源学报Journal of Power SupplyNo.2Mar.2012基于群特性分析的DC-DC 变换器级联系统稳定性判据张波(华南理工大学电力学院，广东广州510640)摘要：电力电子变换器级联的稳定性分析是一个尚未解决的问题，线性电路的阻抗匹配规律不适合开关电路级联系统的分析和研究。
为此，论文尝试将研究对称性的基本理论———群论引入到DC-DC 变换器级联系统的分析中，试图根据DC-DC 变换器级联系统的物理结构，定义基本DC-DC 变换器级联系统的群集合，探讨它们的群特性，揭示群特性与级联特性之间的联系及物理意义，由此初步提出一个基于群特性分析的DC-DC 变换器级联系统的稳定性判据，为解决DC-DC 变换器级联的问题提供一个新的数学工具。
关键词：DC-DC 变换器；级联；群特性中图分类号：TM46文献标志码：A文章编号：2095-2805（2012）02-0001-05收稿日期：2012-03-23作者简介：张波（1962-），博士，教授，博士生导师，华南理工大学电力学院副院长，校“电力电子与电气传动”学科带头人。
基金项目：国家基金重点项目(50937001)引言对称性似乎是一个人人皆知的概念，提及对称性，很自然就定格为几何上的对称性，如等腰三角形的对称性、圆形物体的对称性等，对于大多数人来说，对称性仅是一个简单、具有几何意义的概念。
然而对称性除了几何意义外，也是自然界一个具有普适性定律，它的本质是指一个系统在某种变换下所具有的不变性，例如等腰三角形具有左右变换下的不变性、牛顿定律具有伽利略变换下的不变性等，换句话说就是若一个系统与另一个系统具有某种变换关系，那么它们就具有相同特性和规律，它们就是对称的。
为此，在物理、化学等众多领域，应用对称性原理预测和发现了大量未知规律，其中最著名的例子就是门捷列夫周期律的发现，对称性也被称为物理学的第一定理[1]。
电力电子变换器级联的目的是实现性能的提高，如采用多个DC-DC 变换器级联拓宽输入输出电压比；采用AC-DC 变换器与DC-AC 变换器和AC-DC 变换器级联降低隔离变压器体积等等[2-3]，显然级联是否可行和稳定，取决于各变换器的组成和结构。
对于线性电路，级联的分析十分简单，只要采用前后级电路阻抗匹配的方法就可以判定级联的稳定性；电力电子变换器作为一个开关非线性电路，变换器的阻抗是时变和动态的，前后级变换器无法用阻抗匹配的方法判定其稳定性，虽然现有一些研究在变换器小信号模型基础上，应用阻抗匹配法分析了变换器级联系统的稳定性，但无法适应变换器大信号的稳定性分析[3-6]。
为此，有必要探索新的方法判断电力电子变换器级联系统的可行性和稳定性。
对称性的概念给电力电子变换器级联问题的解决提供了一个重要的启示，即若能证明一个电力电子变换器级联系统与已知变换器具有对称性，而该已知变换器又是可行和稳定的，则可以判定这一电力电子变换器级联系统是可行和稳定的，从而就将电力电子变换器级联系统可行和稳定性研究转变为它的对称性研究。
群论就是专门以对称性为研究对象的数学理论，群论的基本方法是建立一个满足一定变换规则的集合，然后对该集合中的对象进行群运算，若运算后得到的新对象仍属于这个集合，则可以证明该新对象的特性与集合中的对象相同。
为此，本文将以Buck 变换器、Boost 变换器、Buck-Boost 变换器、电源学报总第40期Cuk变换器、Sepic变换器和Zeta变换器级联系统为研究对象，定义它们的集合，进而应用群运算判断它们是否构成群集合，分析级联的可行性和稳定性，由此初步提出电力电子变换器级联稳定性判定的群方法。
1群定义及DC-DC变换器级联系统集合1.1群定义尽管自然界对称性多种多样，但都可以用群定义来描述。
群定义可叙述如下：设G是一些元素的集合，它的元素之间有一个二元运算*（即对应于一个规则），对于G中任意元素a，b，c，如果G满足以下四条运算：（1）封闭性，即a×b∈G（2）结合律，即a×（b×c）=（a×b）×c（3）存在e∈G，使得a×e=e×a=a（e称为单位元）（4）存在a'∈G，使得a×a'=a'×a=e（a'称为a的逆元）则称G为一个群。
可以用下面的例子来说明群定义，如下是一个有8个数的集合，它们是G={90625,40625,65625,15625,46875,96875, 21875,71875}这些数之间的二元运算*规律是，对其中任意两数进行相乘法，取得数的最后五位数作为结果。
可以证明该8个数的集合满足群的四条运算公理：（1）封闭性，即任何两个数二元运算结果仍在该群中，例如；（2）结合律，即任何三个数二元运算可交换顺序；（3）存在单位元，该数为90625，例如；（4）由于存在单位元，所以它必有逆元。
显然，根据以上群定义，首先必须根据电力电子变换器级联规律，建立一个满足级联规律的变换器集合。
1.2DC-DC变换器级联系统集合电力电子变换器一般可用状态方程、输入输出特性函数来描述，由于本文仅是将群论引入电力电子变换器级联问题的研究，为说明问题起见，仅以DC-DC变换器输出、输入电压和电流关系来建立DC-DC变换器的集合。
Buck变换器CCM的输入和输出的电流、电压之间的关系可以用如下矩阵表示：（1）式（1）中，U0，U in和I0，I in分别是Buck变换器的输出、输入电压和电流；D为占空比。
在式（1）中，定义为Buck变换器集合中元素，则可得仅由Buck变换器级联系统的集合，它是一个单元素集合，级联系统对应的二元运算*为乘法。
参照以上方法，可以分别得出Boost变换器、Buck-Boost变换器、Cuk变换器、Sepic变换器和Ze-ta变换器CCM DC-DC变换器级联系统集合如表1。
表1DC-DC变换器串联级联系统集合2DC-DC变换器级联系统的群特性2.1Buck和Boost变换器级联系统的群特性参见式（1），依照群定义验证Buck变换器级联类型集合Buck变换器Boost变换器Buck-Boost变换器Cuk变换器Sepic变换器Zeta变换器2张波：基于群特性分析的DC-DC变换器级联系统稳定性判据第2期系统的群特性。
（1）封闭性由于该集合只有一个元素，在数学上称为单元循环集合，因而封闭性就是这个元素自身相乘运算，即有（2）由于0<D<1，显然有0<D2<1，仍是一个降压变换器，说明，满足封闭性。
（2）结合律由于是Buck变换器自身级联，变换器级联顺序可以置换，满足结合律。
（3）单位元当开关导通占空比D=1，Buck变换器G=〈g （D）〉有（3）式（3）是一单位元e，单位元存在，也既Buck变换器工作于占空比为1的情况。
（4）逆元Buck变换器g（D）的逆元为（4）使×上述分析证明Buck变换器级联系统集合G=〈g（D）〉满足群定义的四条公理，是一个群，由此说明级联后Buck变换器与单个Buck变换器工作特性是一样，级联是可行和稳定的。
同理，对于Boost变换器级联系统的集合，依照群的定义，可以证明是一个群，由此说明Boost变换器级联系统也是可行和稳定的。
2.2Buck-Boost，Cuk，Sepic和Zeta变换器级联系统的群特性从表1可见，Buck-Boost，Cuk，Sepic和Zeta变换器级联系统的集合是相同的，因而只要研究Buck-Boost变换器级联系统集合的群特性即可。
根据群定义有（1）封闭性由于（5）因为当0<D<0.5时，0<D/（1-D）<1，同样有0< D2/（1-D）2<1；当0.5<D<1时，1<D/（1-D）<∞，同样有1<D2/（1-D）2<∞，说明级联后的变换器仍具有Buck-Boost变换器的特性，即g（D）*g（D）∈G〈g （D）〉，满足封闭性。
（2）结合律同样由于是Buck-Boost变换器自身串联级联，变换器级联顺序可以置换，必定满足结合律。
（3）单位元当开关导通占空比D=0.5，有（6）式（6）是一单位元e，单位元存在，也既Buck-Boost变换器工作于占空比为0.5的情况。
（4）逆元Buck-Boost变换器g（D）的逆元为（7）使上述分析证明Buck-Boost变换器级联系统集合G=〈g（D）〉满足群定义的四条公理，是一个群，由此说明级联后Buck-Boost变换器与单个Buck-Boost变换器工作特性是一样，串联级联式可行和稳定的。
以上分析同时也说明Cuk，Sepic和Zeta变换器级联系统集合满足群定义，是可以级联的。
3群特性的物理意义3.1封闭性与工作特性3电源学报总第40期根据群的封闭性定义，二元运算*实质上表示一个群的组成规则，对于DC-DC变换器串联级联方式组成的群，二元运算*表示级联变换器之间输出、输入电压电流的乘积，若经过该运算后的级联变换器输出、输入电压电流关系仍与单个变换器性质一样，即满足封闭性，说明级联变换器工作特性与单个变换器相同，因而群的封闭性反映了变换器级联系统的工作特性。
3.2结合律与级联方式根据群的结合律定义，对于满足结合律的变换器串联级联集合，表示DC-DC变换器级联与顺序无关，即无论是前几个变换器级联后，再与后面变换器级联；还是后几个变换器级联后，再与前面变换器级联，最后的结果都是一样的，显然这与二元运算*相关，即取决于变换器不同级联方式。
3.3单位元与工作范围根据群的单位元定义，它是一个特殊的群元素。
对于DC-DC变换器级联系统，它反映了变换器占空比D的临界值，对于Buck变换器级联系统，D=1是其占空比的最大值；对于Buck-Boost变换器级联系统；D=0.5是其降压和升压变换占空比的临界值，也即降压变换占空比的最大值，升压变换占空比的最小值，因而单位元实际反映了DC-DC变换器占空比的工作范围。
3.4逆元与对偶变换器对于群的单位逆元，由式（4）Buck变换器级联系统的逆元表示式，可得（8）由上式可知，这是Buck变换器的对偶电路，可以实现电流的变换。
综上分析，可以看出群的定义，反映了电力电子变换器级联系统的工作特性、连接方式、工作范围以及对偶电路，具有明确的物理意义，因而可以作为电力电子变换器级联系统可行性和稳定性分析的判据。
4结论本文将群论引入电力电子变换器级联系统的分析，初步的研究结果表明，它可能是一种与现有变换器级联阻抗匹配研究方法完全不同研究工具，可以作为电力电子变换器级联系统可行性和稳定性分析的判据。