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波函数应满足的标准条件（物理要求）
连续性
有限性
单值性 归一化条件.

以后会看到，有些情况下能量量子化 就是源于这些条件的限制
波函数遵从叠加原理:
实验证实
波函数（概率幅）可以相加 概率不能相加
二、薛定谔方程 (量子力学基本原理之二）
问题的提出： 瑞士联邦工业大学 一月以后：薛定谔 向大家介绍了德布罗 意的论文。
一般情况下, 物理上要求波函数是有限，连续和单值的 ----- 波函数标准化条件
0
2 3 r , t d r 1
满足该条件为归一化波函数.
3. 叠加原理: 如果 1 , 2 , , n 都是体系的可能状 态，那么它的线性叠加，也是这个体系的一个可能态。
5
c1 1 c2 2 cn n cn n
2
c2
c
19 例 一束带电粒子经 206V 电压加速后，测得其德布罗 意波长为 2.0 pm。已知粒子所带电量与电子相等，试求这粒子的 质量。
解: （忽略相对论效应） 粒子动量为
p mv
1 2
h

(1)
粒子动能 Ek mv2 eU (2) （1），（2） 联立，解得
14
J
动能低于几万电子伏特的电子可以看作低速粒子， 可以不考虑相对论效应
p2 Ek 2m0
p 2m 0 E k
h h 2m 0 E k 2m0 eU
Ek mc m0c
2
2
Ek m0c 2 mc 2
2
当Ek m0c 时
2
m0c mc
2
m0 m
m
m0 1

以后会看到，有些情况下能量量子化 就是源于这些条件的限制
归一化条件. 5). 波函数遵从叠加原理: 实验证实, 波函数（概率幅）可以相加
概率不能相加
4. 波函数也称为概率幅
a
子弹
8
P 1 P2
b
P
P P P2概率叠加 1
宏观粒子 可以跟踪
P 1
电子
P2
微观粒子 不可以跟踪
物质波的波函数 r , t 是描述粒子
量子力学的基本原理之一
点出现的相对概率密度。 表示 t 时刻微观粒子, 在空间r
2 r , t 是可观测量， r , t 是不可观测量。
空间概率分布的“概率幅”。 波函数的模方 r , t 2 r , t r , t
22
22
物理讨论会（1926）
你这种谈论太幼稚，作为 薛定谔：你能不能给我们 索末菲的门徒，都知道： 讲一讲De Broglie的那篇 处理波要有一个波动程方 学位论文呢？ 才行啦！
薛 定 谔
德 拜
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又过了几个星期
23
瑞士联邦工业大学
物理讨论会（1926）
原来薛定谔方程是利用 薛定谔:波函数， 2 2 氢原子能量： 我的同行提出，要有一个) i U ( xyzt 经典物理，用类比的办 t波动方程，今天我找到了 光谱波长： 2m 能解很多好东西。 法得到的，或者说开始 激发态寿命： 若问这是为什么？ 一个： 只不过是一个假定，尔 谁也不知道！ 薛 后为实验证实。我们从 定 谔 散会后： 特例出发，推广得出这 个方程。 德 以自由粒子为例建立 拜 Schrö ding方程 （非相对论条件下讨论）
你能看到的是老人还是情侣？
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补充： 微观粒子动量p、动能E 和波长 k 1.动量p
的计算
17
m c p c m c 或
2 4 2 2 2 4 0
2 2 0
2 k
2 E 2 p 2 c 2 E0
2 k 2
E 2 E k E0 E 2 E k m0 c E E p c c c 2.动能 E k E E E E E k E0 k 0
3. 不确定关系给出了宏观物理与微观物理的分界线
---- 普朗克常数 h
例: 一个电子沿 x 方向运动, 速度大小 vx=500m/s, 已知 其精确度 0.01. 求测定电子坐标 x 所能到达的最大精确度. 解:
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xpx px me , 34 6.626 10 x p x me x 6.28 9.11 10 31 500 10 4
点出现的相对概率密度。 表示 t 时刻微观粒子，在空间 r 式中： r , t 是空间坐标 r 和时间坐标t的函数，
r , t 是其复共轭。

2 r , t r , t r , t
微观粒子具有波粒二象性，波强大处粒子出现概率大。
2.3 10 3 m
若一个子弹, 质量为 10g, 具有同样的速度大小和方向,
测量精度:
x p x m x 6.62 10 34 2.1 10 31 m 6.28 0.01 500 10 4
13
例2:如果钠原子所发出的黄色谱线(=589nm)的自然宽度为
Ek
3.波长
p c E E0
2 2 2 0
p c m c m0c
2 2 2 4 0
2
2
h p
hc E 2 E k m0 c
2 k
2
{
h 当Ek m0c 时 2m 0 E k
当Ek m0c 2时 hc
Ek
18
当Ek m0c 2时 为低速粒子 例如电子：m0c 2 0.511MeV 51.1*104 eV 8.18 10
c1 , c2 , cn为任意常数
n
波函数遵从叠加原理: 实验证实, 只打开a
以双缝实验为例
c1 1
P c1c1 1 1 1
a
b
只打开 b c2 2 P2 c2c2 2 2
两缝同时打开 c11 c2 2
P (c1 1 c2 2 ) (c1 1 c2 2 )
电子的速度与速度的不确定度有相同的数量级，波动性 十分显著。 所以原子中电子的运动必须抛弃轨道的概念, 而用电子云图象（说明电子在空间的概率分布）
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微观粒子在某些条件下表现出粒子性， 在另一 些条件下表现出波动性， 而两种性质虽寓于同一 体中， 却不能同时表现出来。
少女？
老妇？
两种图像不会 同时出现在你 的视觉中
个原子世界的干涉现象
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24.2 不确定关系
一.不确定性关系
1、位置和动量之间的不确定关系 （测不准关系） 如果测量一个粒子位置的不确定范围是 x, 则同时测量其 动量也有一个不确定范围px , 两者乘积不可能小于 即
2
x p x 2
y p y , 2 z p z 2
P 1 1 1
P2 2 2
P (c1 1 c2 2 ) (c1 1 c2 2 )
c1c1 1 1 c2 c2 2 2 c1c2 1 2 c2 c1 2 1
狄拉克：概率幅叠加的直接结果，就是引起了充满整
3
24.1 波函数及其统计解释
(量子力学基本原理之一）
1.波函数的物理意义 (玻恩统计诠释) 一个微观客体在时刻 t 状态,用波函数 x, y, z, t
那样代表什么实在的物理量的波动，而其模方
(一般是复函
数 ) 完全描述. 波函数 r , t 本身没有直接的物理意义。它并不像经典波
若三维空间有
x p x , 2
2 、能量和时间之间的不确定关系
E t 2
单个电子或单色光的单缝衍射 位置不确定量 动量不确定量
10
p y（衍射程度） y
y
y
（缝宽） ）
p
p y
由衍射极小公式
y sin k (k 1,2,) y y sin sin 由 p y ptg p sin h p y sin h 及德布罗意公式 p h 得 y p y h 精确推导 y p y 4 2 常用 y p y 或 y p y h
P P P2 1
c1c1 1 1 c2c2 2 2 c1 c2 1 2 c2 c1 2 1

干涉项 波函数可以相加,概率不能相加
小结： 波函数： 1). 微观粒子的状态用波函数描述，与经典物理不同，波函数没
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有对应的物理量，它不能测量，一般是复数.
例如：一维自由粒子的波函数 2). 波函数的物理意义： 玻恩统计诠释

( x, t ) 0 e
3 2 3
i ( Et px ) h
d r d r
概率波
t 时刻，在 r 附近， 3 r 空间，找到粒子的几率 d 波函数 是概率振幅，简称 概率幅，

C 描述同一个状态，因为，对于概率分布
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2. 统计诠释及其它物理条件对波函数提出的要求
1）. 空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值
0
2 3 r , t d r 有限值
式中
d 3r dxdydz
0 是任意有限体积元
2）. 粒子在空间各点的概率的总和为 1 ---- 波函数归一化条件
2 3）. 要求 r ,t 单值
( x.t ) 0e
2 i ( Et p x x ) h

k E h 代入上式
i ( Et p x x ) /
（三维）自由粒子波函数
0e i ( Et pr ) / (r .t ) 0e