5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 1 of 9 5-3-4.分解质因数（一） 教学目标 1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为的结构，而且...☆☆☆△△△

表达形式唯一” 知识点拨

一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，302352

1222323

其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法

例如：，（┖是短除法的符号） 所以； 21226312223

二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，312123kaaaa

knpppp

为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式. 12kaaa

例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解

；；；；；111337100171113111114127110001731371995357195-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 2 of 9

；；；. 1998233337200733223200822225110101371337 例题精讲

模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。 【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分 【解析】 原式 3

23753

【答案】 3

23753

【例 2】 三个连续自然数的乘积是，求这三个数是多少？ 210【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空

【解析】 分解质因数：，可知这三个数是、和。 2102102357567

【答案】、和 567

【例 3】 两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之和是多少? 111555【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 分解质因数：()()，所以和为.本讲11155511155533537673337567333335668

不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的。 111337【答案】 668

【巩固】 已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______. 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题 【解析】 35=1×35=5×7，5、7差2，两个自然数的和是5+7=12 【答案】元 12

【例 4】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题 【解析】 ，，所以是2184 11121317161213142184【答案】 2184

【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 ． 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题 【解析】 ，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为和，它们的和为． 2

12623791423

【答案】 235-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 3 of 9

【例 6】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 将360分解质因数得，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个360222335

是合数，所有该合数必至少为个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4633个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533. 【答案】8533

【例 7】 已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到

，五个人的年龄和为125岁。 589225113253749【答案】125岁

【例 8】 如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是___________。 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，初赛，4题 【解析】 根据题意列式子如下：，因为分解质因数是与，所以，23abab2312323,1abab

根据和差关系算出，，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23， 12a11b【答案】 23

【例 9】 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 2004720【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 首先分解质因数，，其中最大的质因数是167，所以所要求20047202222357167

的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数. ，，，16535116628316822237，所以，，都没有4个2，不满足题意.说明1671691313165166167166167168167168169不可行.尝试，，，3341672335567336222237，包括了中的所有质因数，所以这组33433533622222357671672004720符合题意，以此三数之和最小为1005. 【答案】1005 5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 4 of 9

【例 10】 A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和。那么A、B两数之差的最大值是 。 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第8题，10分 【解析】 2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007，所以A的可能值是231或235或

675或2011，又2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007，所以B的可能值是230或234或674或2010，A、B两数之差的最大值为 2011－230=1781。 【答案】 1781

【例 11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大岁，他们四个人年龄的乘积是2。问他们四个人的年龄各是几岁？ 48384【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 题中告诉我们，是四个人年龄的乘积，只要我们把分解质因数，再按照每组相差2来4838448384

分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。 ，由此得出这四个人的年龄分别 4838428337(223)(27)24(232)12141618是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数， 当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为的个位数字不是0，显然这四个数中，没有 48384个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为，而4

1048384

， 4

4838420

所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14 岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。 【答案】12岁、14岁、16岁、18岁

【例 12】 甲数比乙数大，乙数比丙数大，三个数的乘积是，求这三个数？ 556384【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 将分解质因数，，则其中必有一个数是或的倍数；经试算，63846384222237191919

，，恰好，所以这三个数即为，，195142719524222314192463841419.一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里不符合要求，下一个该2419考虑，再下一个该考虑，依此类推． 3857【答案】，， 141924