实验五 连续系统分析一、实验目的深刻理解连续时间系统的系统函数在分析连续系统的时域特性、频域特性及稳定性中的重要作用及意义，掌握根据系统函数的零极点设计简单的滤波器的方法。

掌握利用MATLAB 分析连续系统的时域响应、频响特性和零极点的基本方法。

二、 实验原理MATLAB 提供了许多可用于分析线性时不变连续系统的函数，主要包含有系统函数、系统时域响应、系统频域响应等分析函数。

1. 连续系统的时域响应连续时间LTI 系统可用如下的线性常系数微分方程来描述：。

已知输入信号x (t )以及系统初始状态，就可以求出系统的响应。

MATLAB 提供了微分方程的数值计算的函数，可以计算上述n 阶微分方程描述的连续系统的响应，包括系统的单位冲激响应、单位阶跃响应、零输入响应、零状态响应和完全响应。

在调用MATLAB 函数时，需要利用连续系统对应的系数函数。

对微分方程进行Laplace 变换即可得系统函数：在MATLAB 中可使用向量和向量分别保存分母多项式和分子多项式的系数：这些系数均按s 的降幂直至s 0排列。

(1) 连续系统的单位冲激响应h (t )的计算impulse(sys)计算并画出系统的冲激响应。

参数：sys 可由函数tf(b,a)获得。

其中：)()( )()(01)1(1)(t y a t y a t y a t y a n n n n ++++-- )()( )()(01)1(1)(t x b t x b t x b t x b m m m m ++++=-- )0(,),0('),0()1(----n yy y 01110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s X s Y s H n n n n m m m m ++++++++==---- ],,,,[011a a a a a n n -=],,,,[011b b b b b m m -=h=impulse(sys, t): 计算并画出系统在向量t 定义的区间上的冲激响应，向量h 保存对应区间的系统冲激响应的输出值。

(2) 连续系统的单位阶跃响应g (t )的计算step(sys): 计算并画出系统的阶跃响应。

参数：sys 可由函数tf(b,a)获得。

其中：g=step(sys, t): 计算并画出系统在向量t 定义的区间上的阶跃响应，向量g 保存对应区间的系统阶跃响应的输出值。

(3) 连续系统的零状态响应y (t )的计算lsim(sys, x, t) 计算并画出系统的零状态响应。

参数: sys 可由函数tf(b,a)获得, x 为输入信号， t 为定义的时间向量。

2．连续系统的系统函数零极点分析连续LTI 系统的系统函数H (s )可以表示为部分分式形式：设，且H (s )的极点pi 全部为单极点，则：系统函数H (s )的极点pi 决定了冲激响应h (t )的基本形式，而零点和极点共同确定了冲激响应h (t )的幅值。

MATLAB 中提供了roots 函数计算系统的零极点，提供了pzmap 函数绘制连续系统的零极点分布图。

],,,,[011a a a a a n n -=],,,,[011b b b b b m m -=],,,,[011a a a a a n n -=],,,,[011b b b b b m m -=))...()(())...()(()()()(2121n m p s p s p s z s z s z s k s D s N s H ------==n m ≤∑=-=ni i i p s k s H 1)()()(1t u e k t h tp ni i i ∑==i k3．连续系统的频率响应若连续因果LTI 连续系统的系统函数H (s )的极点全部位于S 左半平面，则系统的频率响应可由H (s )求出，即MATLAB 中freqs 函数可以分析连续系统的频响，格式如下：H=freqs(b,a,w): 计算系统在指定频率点向量w 上的频响H ；w 为频率点向量。

[H,w]=freqs(b,a) : 自动选取200个频率点计算频率响应。

三、实验内容1. 已知描述连续系统的微分方程为，输入，初始状态，计算该系统的响应，并与理论结果比较，列出系统响应分析的步骤。

①源代码 a=[1 10]; b=[2];[A B C D]=tf2ss(b,a); sys=ss(A,B,C,D); t=0:0.001:5; xt=t>0; sta=[1];y=lsim(sys,xt,t,sta); subplot(3,1,1); plot(t,y); xlabel('t');title('系统完全响应y(t)'); subplot(3,1,2); plot(t,y,'-b');)(j j e )j ()()j (ωϕωωωH s H H s ===)(2)(10d )(d t x t y tt y =+)()(t u t x =1)0(=-yhold onyt=4/5*exp(-10*t)+1/5;plot(t,yt,':r');legend('数值计算','理论计算'); hold offxlabel('t');subplot(3,1,3);k=y'-yt;plot(t,k);k(1)title('误差');②运行结果③结果分析理论值y(t)=0.8*exp(-10t)*u(t)+0.2程序运行出的结果与理论预期结果相差较大误差随时间增大而变小，初始值相差最大，终值基本相同。

2. 已知连续时间系统的系统函数为，求输入分别为，，时，系统地输出，并与理论结果比较。

①源代码a=[1,3,2,0]; b=[4,1]; sys=tf(b,a); t=0:0.001:5; x1=t>0;x2=(sin(t)).*(t>0); x3=(exp(-t)).*(t>0); y1=lsim(sys,x1,t); y2=lsim(sys,x2,t); y3=lsim(sys,x3,t); subplot(3,1,1); plot(t,y1); xlabel('t'); title('X(t)=u(t)'); subplot(3,1,2); plot(t,y2); xlabel('t');title('X(t)=sint*u(t)'); subplot(3,1,3); plot(t,y3); xlabel('t');title('X(t)=exp(-t)u(t)');ss s s s H 2314)(23+++=)(t x )(t u )(sin t tu )(t u e t -)(t y②运行结果③结果分析理论值 y1（t）=5/4+0.5*t*u(t)+7/4*exp(-2*t) *u(t)-3*exp(-t) *u(t);y2（t）=0.5+1.5*exp(-t) *u(t)-0.7*exp(-2*t) *u(t)-1.3*cos(t) *u(t)+0.1*sin(t) *u(t) y3（t）=0.5-4*exp(-t) *u(t)+7/2*exp(-2*t) *u(t)+3*t.*exp(-t) *u(t);误差值分析：可见误差小于10−3，计算值与理论值几乎重合。

3. 研究具有以下零极点的连续系统： (a) 1个极点s=—0.1，增益k=1。

(b) 1个极点s=0，增益k=1。

(c) 2个共轭极点，增益k=1。

(d) 2个共轭极点，增益k=1。

(e) 零点在，极点在，增益k=1。

(e) 零点在，极点在，增益k=1。

完成下列任务：（1）利用zpk 和tf 命令建立系统的系统函数，画出系统的零极点图。

（2）分析系统是否稳定。

若稳定，画出系统的幅频特性曲线。

（3）画出系统的冲激响应波形。

（4）详细列出根据零极点分析系统特性的过程。

5j s ±=55.0j s ±-=5.0=s 51.0j s ±-=5.0=s 51.0j s ±=①源代码（以（e）为例）(零极点图)b=[1,-0.5];a=conv([1,-0.1+5j],[1,-0.1-5j]); z=roots(b);p=roots(a);sys=tf(b,a);pzmap(sys)（幅频响应）b=[1,-0.5];a=conv([1,-0.1+5j],[1,-0.1-5j]); [H,w]=freqs(b,a);plot(w,abs(H));xlabel('Frequency(rad/s)');ylabel('Amplitude');title('Magnitude response');（冲击响应）b=[1,-0.5];a=conv([1,-0.1+5j],[1,-0.1-5j]); sys=tf(b,a);t=0:0.1:10;h=impulse(sys,t);plot(h);xlabel('t'); title('h(t)')②运行结果③结果分析(a)~(e)均为因果稳定系统，他们的极点都在jw 轴左侧。

当且仅当H （s ）的全部极点都位于s 平面的左半平面时，一个具有有理系统函数H （s ）的因果系统才是稳定的。

4. 根据连续系统零极点对系统幅频特性的影响设计下面系统。

在S 平面上配置零极点，并使用freqs 命令绘出相应的幅频特性曲线，重复该过程直至找到满足下面指标的零极点。

(1) 设计一个具有2个零点，2个极点，实系数的高通滤波器，满足(2) 设计一个具有实系数的低通滤波器，满足（1）设计步骤≤≤-==-======++-+==<±=--=m m s H m s H n b m a n m n m j s s H m nj m p p s p s s s H 65.152,2.1)(0872.188,8.0)(100,1,))()()((100)()0(,))(()(222222,1212πωωωωωωπ314,153188=-≤≤-n m 取m=-170,n=314根据计算结果，可以得到127496340)(22++=s s s s H①源代码 。

；πωω100,2.1)(8.00)0(>≤≤=j H j H 。

；πωωπωω10,1.0)(,2.1)(8.0>≤<≤≤j H j Hb=[1 0 0]; a=[1 340 127496];[H,w]=freqs(b,a);plot(w,abs(H));xlabel('Frequency(rad/s)');ylabel('Amplitude');title('Magnitude response');②运行结果（2）设计步骤cs H s H cb c b c kj s s H c k jn m p p s p s k c bs s k s H ===+-=+-===±=--=++=222222222,1212,2.1)(,8.0)()()1(1)()(,,))(()(ωωωωωπ根据计算结果，可以得到10310)(2++=s s s H①源代码b=[10]; a=[1 3 10];[H,w]=freqs(b,a);plot(w,abs(H));xlabel('Frequency(rad/s)');ylabel('Amplitude');title('Magnitude response');②运行结果③结果分析：设计的滤波器特性满足要求四、思考题1、系统函数的零极点对系统频率特性有何影响？解：（1）极点主要影响系统频率特性的峰值，如果极点越靠近单位圆或jw轴，那么其峰值就越尖锐。