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四. 严平稳过程的数字特征的性质
设{X (t),t T}为连续状态严平稳过程
E[ X (t)] xf1 (x,t)dx xf1 (x)dx X (常数);
E[X 2 (t)]
x
2
f1
(
x,
t
)dx
x 2
f1 ( x)dx
X2
(常数);
D[ X (t)] E[ X 2 (t)] (E[ X (t)]) 2
则称 X (t) 为广义平稳过程,或称宽平稳过程, 简称平稳过程.
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参数集 T 为整数集或可列集的平稳过程
又称为平稳序列,或称平稳时间序列.
(二) 广义平稳过程的数字特征的性质
设{X (t),t T}是平稳过程,则
(1) E[X (t)X (t )] RX ( ) 仅依赖于 ,而与 t 无关;
R(t1,t2 ) E(Z (t1)Z (t2 ))
而与 t1, t2 本身无关.
三.(1)离散状态随机过程 X (t) ,严平稳性条件
P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn}
P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn}
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(2)连续状态随机过程 X (t) ,严平稳性条件
f (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , , tn ) f (x1, x2, , xn;t1 ,t2 , ,tn )
一维概率密度函数
f1(x1;t1) f1(x1;t1 ) f1(x1;0) f1(x1) 二维概率密度函数
f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ;t1 ,t2 ) f2 (x1, x2;0, ) f2 (x1, x2; )
第十二章 平稳过程
平稳过程是一类特殊的随机过程,它的应用极为广泛.
第一节 严平稳过程
一．定义1 随机过程{X (t),t T} ，如果对任意 n 维
分布函数,任意实数 ,满足:
F (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , , tn )
F(x1, x2 ,, xn;t1 ,t2 ,,tn ) n 1,2,
X2
2 X
2 X
(常数);
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E[ X (t) X (t )] x1x2 f2 (x1, x2 ;t, t )dx1dx2
x1x2 f 2 (x1, x2 ; )dx1dx2 RX ( )
(仅依赖于 ,而不依赖于 t );
E{[X (t) EX(t)][X (t ) EX(t )]}
E[X (t)X (t )] E[X (t)]E[X (t )]
RX
(
)
2 X
C X ( )
于是得到
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定理一 设{X (t),t T}是严平稳过程,如果过程的二 阶矩存在,那么
(1) E[X (t)] X E[X 2 (t)] X2
D[
X
(t
)]
2 X
均为常数,与参数 t 无关;
f
(
z;
t
)
1 2t
exp{
z 2t
}
z0
0
z0
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第二节 广义平稳过程
(一) 广义平稳过程的定义 定义2 设随机过程 X (t) ,对于任意 t T ,满足:
(1) E[ X 2 (t)] 存在且有限;
(2) E[X (t)] X是常数;
(3)E[X (t)X (t )] RX ( )仅依赖于 ,而与 t 无关,
F2 (x1, x2 ;t1,t2 ) F2 (x1, x2 ;t1 ,t2 ) F2 (x1, x2;0, ) F2 (x1, x2; )
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上式表明:严平稳过程的一维分布函数 F1(x1) 不依赖
于参数 t ,
二维分布函数F2 (x1, x2 ; ) 仅依赖于参数间距 t2 t1
E[X (t)X (t )] E[X (t)]E[X (t )]
RX
(
)
2 X
CX ( )
(仅依赖于 ,而与 t 无关)。
问题: RX ( ) ?
( >0)
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三.平稳过程的例子 例1 随机相位正弦 波 X (t) a cos(t ), 式中 a 和
是常数, 是(0,2 )上服从均匀分布的随机变量.
则称 X (t)为严平稳过程,或称狭义平稳过程.
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严平稳过程的含义是:过程的任何有限维概率分布 与参数的原点选取无关,
二. 严平稳过程的一维,二维分布函数的性质
特殊地,取 t1,t2 t1 一维分布函数
F1(x1;t1) F1(x1;t1 ) F1 (x1;0) F1 (x1 ) 二维分布函数
X n 表示第 n 次试验成功的次数,
试验证 {X n , n 1,2,3,}是严平稳过程. (即， 分布函数不变)
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例2 设X ,Y 是相互独立的标准正态随机变量,
Z (t) ( X 2 Y 2 )t, t 0
试验证随机过程 Z (t)不是严平稳过程,Z (t)
的数字特征也不具有平稳性.
(2) E[X (t)] X 是常数;
(3) X2 E[ X 2 (t)] E[X (t)X (t 0)] RX (0) 是常数;
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(4)
D[ X (t)] 2 X
是常数;
(5) CX (t,t ) cov(X (t), X (t ))
验证 X (t) 是平稳过程.
RX (t1,t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
a2 2
cos (t 2
t1 )
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例2 随机振幅正弦波Z(t) X cos2t Y sin 2t ,其中
X和 Y 都是随机变量,且EX EY 0, DX DY 1
E(XY) 0. 验证 Z(t)是平稳过程.
(2) E[X (t)X (t )] RX ( )
E{[X (t) EX(t)][X (t ) EX(t )]} CX ( )
仅依赖于参数间距 ,而不依赖于 t .
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数字特征的这一性质也称为平稳性. 定理一的逆定理是不成立的.
例1 (Bernoulli序列) 独立重复地进行某项试验,每次 试验成功的概率为 p(0 p 1) ,失败的概率为1 p .