22.3 二次函数与实际问题应用能力提升练（一）限时跟踪练习（一）：30分钟1．为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．2．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y 只，y与x满足下列关系式：y＝．（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？3．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？4．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：t（秒）0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 6 X（米）0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …y（米）0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y＝a（x﹣3）2+k．①用含a的代数式表示k；②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线恰好擦网扣杀到A，求a的值．5．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？限时跟踪练习（二）：30分钟6．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？7．如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25m，由柱子顶端A处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？8．某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y 与x之间的函数关系式为y＝20﹣0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万件）与x（元）之间的函数关系式．（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润＝年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利＝两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．9．某工厂A车间接到生产一批自行车的订单，要求必须在12天（含12天）内完成．已知每辆自行车的成本价为800元．该车间平时每天能生产自行车20辆．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22辆，以后每天生产的自行车都比前一天多2辆．由于机器损耗等原因，当每天生产的自行车达到30辆后，每增加1辆自行车，当天生产的所有自行车平均每辆的成本就增加20元．设生产这批自行车的时间为x天，每天生产的自行车为y辆．（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）若这批自行车的订购价格为每辆1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？10．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？参考答案1．解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得，解得：，∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；（2）由题意，得，解得：70＜x＜120，∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当20≤x≤220时，y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）2+4840，∴当x＝110时，y最大＝4840，∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．2．解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n+120＝420，解得n＝10．答：第10天生产的粽子数量为420只．（2）由图象得，当0≤x≤9时，p＝4.1；当9≤x≤15时，设P＝kx+b，把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，，解得，∴p＝0.1x+3.2，①0≤x≤5时，w＝（6﹣4.1）×54x＝102.6x，当x＝5时，w最大＝513（元）；②5＜x≤9时，w＝（6﹣4.1）×（30x+120）＝57x+228，∵x是整数，∴当x＝9时，w最大＝741（元）；③9＜x≤15时，w＝（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）＝﹣3x2+72x+336，∵a＝﹣3＜0，∴当x＝﹣＝12时，w最大＝768（元）；综上，当x＝12时，w有最大值，最大值为768．（3）由（2）可知m＝12，m+1＝13，设第13天提价a元，由题意得，w13＝（6+a﹣p）（30x+120）＝510（a+1.5），∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得a≥0.1．答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．3．解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x+b1，∵y1＝k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），∴∴，∴这个一次函数的表达式为；y1＝﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）设y2与x之间的函数关系式为y＝k2x+b2，∵经过点（0，120）与（130，42），∴，解得：，∴这个一次函数的表达式为y2＝﹣0.6x+120（0≤x≤130），设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]＝﹣0.4（x﹣75）2+2250，∴当x＝75时，W的值最大，最大值为2250；当90≤x≤130时，W＝x[（﹣0.6x+120）﹣42]＝﹣0.6（x﹣65）2+2535，由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，∴当x＝90时，W＝﹣0.6（90﹣65）2+2535＝2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．4．解：（1）由表格中数据可得，t＝0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设y＝a（x﹣1）2+0.45，将（0，0.25）代入，可得：a＝﹣，则y＝﹣（x﹣1）2+0.45，当y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+0.45，解得：x1＝，x2＝﹣（舍去），即乒乓球与端点A的水平距离是m；（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应点为：（，0），代入y＝a（x﹣3）2+k，得（﹣3）2a+k＝0，化简得：k＝﹣a；②∵球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米，∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（1.4，0.14）点，由题意可得，扣杀路线在直线y＝x上，由①得，y＝a（x﹣3）2﹣a，令a（x﹣3）2﹣a＝x，整理得：20ax2﹣（120a+2）x+175a＝0，当△＝（120a +2）2﹣4×20a ×175a ＝0时符合题意， 解方程得：a 1＝，a 2＝，当a 1＝时，求得x ＝﹣，不符合题意，舍去； 当a 2＝时，求得x ＝，符合题意．5．解：（1）根据题意得B （0，4），C （3，），把B （0，4），C （3，）代入y ＝﹣x 2+bx +c 得，解得．所以抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +4，则y ＝﹣（x ﹣6）2+10，所以D （6，10），所以拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA 的交点为（2，0）或（10，0）， 当x ＝2或x ＝10时，y ＝＞6，所以这辆货车能安全通过； （3）令y ＝8，则﹣（x ﹣6）2+10＝8，解得x 1＝6+2，x 2＝6﹣2，则x 1﹣x 2＝4，所以两排灯的水平距离最小是4m ．6．解：（1）横向甬道的面积为：x ＝150x （m 2）；（2）横向甬道的面积为：x ＝150x （m 2）；甬道总面积为150x +160x ﹣2x 2＝310x ﹣2x 2， 依题意：310x ﹣2x 2＝××80，整理得：x 2﹣155x +750＝0，x 1＝5，x 2＝150（不符合题意，舍去），∴甬道的宽为5米；（3）∵花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，∴等腰梯形的面积为：（120+180）×80＝12000，∵甬道总面积为S＝310x﹣2x2，绿化总面积为12000﹣S，花坛总费用y＝甬道总费用+绿化总费用：∴y＝5.7x+（12000﹣S）×0.02，＝5.7x﹣0.02S+240，＝5.7x﹣0.02（310x﹣2x2）+240，＝0.04x2﹣0.5x+240，当x＝﹣＝6.25时，y的值最小．∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，∴当x＝6米时，总费用最少．即最少费用为：0.04×62﹣3+240＝238.44万元．7．解：（1）以O为原点，顶点为（1，2.25），设解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25过点（0，1.25），解得a＝﹣1，所以解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25，令y＝0，则﹣（x﹣1）2+2.25＝0，解得x＝2.5 或x＝﹣0.5（舍去），所以花坛半径至少为2.5m．（2）根据题意得出：设y＝﹣x2+bx+c，把点（0，1.25）（3.5，0）∴，解得：，∴y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+，∴水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达米．8．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），∵函数图象经过点（50，10），（70，8），∴，解得，所以，y＝﹣0.1x+15；（2）∵乙种产品的销售单价在25元（含）到45元（含）之间，∴，解之得45≤x≤65，①45≤x＜50时，W＝（x﹣30）（20﹣0.2x）+10（90﹣x﹣20），＝﹣0.2x2+16x+100，＝﹣0.2（x2﹣80x+1600）+320+100，＝﹣0.2（x﹣40）2+420，∵﹣0.2＜0，∴x＞40时，W随x的增大而减小，＝﹣0.2（45﹣40）2+420＝415万元；∴当x＝45时，W有最大值，W最大②50≤x≤65时，W＝（x﹣30）（﹣0.1x+15）+10（90﹣x﹣20），＝﹣0.1x2+8x+250，＝﹣0.1（x2﹣80x+1600）+160+250，＝﹣0.1（x﹣40）2+410，∵﹣0.1＜0，∴x＞40时，W随x的增大而减小，∴当x＝50时，W有最大值，W＝﹣0.1（50﹣40）2+410＝400万元．最大综上所述，当x ＝45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元；（3）根据题意得，W ＝﹣0.1x 2+8x +250+415﹣700＝﹣0.1x 2+8x ﹣35，令W ＝85，则﹣0.1x 2+8x ﹣35＝85，解得x 1＝20，x 2＝60．又由题意知，50≤x ≤65，根据函数与x 轴的交点可知50≤x ≤60，即50≤90﹣m ≤60，∴30≤m ≤40．9．解：（1）∵该车间平时每天能生产自行车20辆，第一天生产了22辆，以后每天生产的自行车都比前一天多2辆，∴由题意可得出，生产这批自行车的时间为x 天，每天生产的自行车为y 辆之间的函数关系式为：y ＝2x +20（1≤x ≤12）；（2）当1≤x ≤5时，W ＝（1200﹣800）×（2x +20）＝800x +8000，此时W 随着x 的增大而增大，∴当x ＝5时，W 最大值＝12000；当5＜x ≤12时，W ＝[1200﹣800﹣20×（2x +20﹣30）]×（2x +20）＝﹣80（x ﹣2.5）2+12500，此时函数图象开口向下，在对称右侧，W 随着x 的增大而减小，又天数x 为整数， ∴当x ＝6时，W 最大值＝11520元．∵12000＞11520，∴当x ＝5时，W 最大，且W 最大值＝12000元．综上所述：W ＝．∴该车间捐献给灾区12000元．10．解：（1）由题意得出： w ＝（x ﹣20）∙y＝（x ﹣20）（﹣2x +80）＝﹣2x 2+120x ﹣1600，故w 与x 的函数关系式为：w ＝﹣2x 2+120x ﹣1600；（2）w ＝﹣2x 2+120x ﹣1600＝﹣2（x ﹣30）2+200，∵﹣2＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值．w 最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w ＝150时，可得方程﹣2（x ﹣30）2+200＝150．解得 x 1＝25，x 2＝35．∵35＞28，∴x 2＝35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．。