习 题 三 解 答1、用高斯消元法解下列方程组。

（1）12312312231425427x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩①②③解：⨯4②＋(-)①2，12⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得：1232323231425313222x x x x x x x ⎧⎪-+=⎪-=⎨⎪⎪-=⎩④⑤⑥ 再由52)4⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：1232332314272184x x x x x x ⎧⎪-+=⎪-=⎨⎪⎪-=⎩回代，得：36x =-，21x =-，19x = 所以方程组的解为(9,1,6)T x =--注意：①算法要求，不能化简。

化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。

实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。

无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。

②消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。

要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。

矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。

一般形式或分量形式： 12312312231425427x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩①②③ 矩阵形式123213142541207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭向量形式 123213142541207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭③必须是方程组到方程组的变形。

三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。

④消元顺序12x x →→L ，不能颠倒。

按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。

实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。

⑤不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。

（2）1231231231132323110221x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=-⎩①②③解：⨯23②＋()①11，111⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得： 123232311323523569111111252414111111x x x x x x x ⎧--=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪+=-⎪⎩④⑤⑥ 再由2511)5211⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：123233113235235691111111932235252x x x x x x ⎧⎪--=⎪⎪-=⎨⎪⎪=-⎪⎩回代，得：32122310641,,193193193x x x =-==， 所以方程组的解为 41106223(,,)193193193Tx =-2、将矩阵1020011120110011A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭作LU 分解。

解：设1112131421222324313231324142434410001020100001111000201110000011u u u u l u u u A LU l l u u l l l u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据矩阵乘法，先求U 的第一行，由11j j a u =，得111213141,0,2,0u u u u ====。

再求L 的第一列，由矩阵乘法，因为1111i i a l u =，所以1111i i a l u =，而111u =，所以11i i l a =，所以2131410,2,0l l l ===。

再求U 的第二行，得 21122211l u u ⨯+⨯=，则22211211001u l u =-⨯=-⨯=，21132333101l u u u ⨯+⨯+⨯=，则 23211311021u l u =-⨯=-⨯=， 21142434441001l u u u u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 24211411001u l u =-⨯=-⨯=，再求L 的第二列，得3112322210000l u l u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 32311200200l l u =-⨯=-⨯=41124222430000l u l u l ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 42411200000l l u =-⨯=-⨯=再求U 的第三行，得311332233311l u l u u ⨯+⨯+⨯=-，则33311332231122015u l u l u =--⨯-⨯=--⨯+⨯=-311432243444101l u l u u u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 34311432241120011u l u l u =-⨯-⨯=-⨯-⨯=再求L 的第三列，得411342234333101l u l u l u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则4311(10201)55l =-⨯-⨯+⨯=-再求U 的第四行，得4114422443344411l u l u l u u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则4441144224433416110001(1)55u l u l u l u =-⨯+⨯+⨯=-⨯-⨯--⨯=所以，矩阵A 的LU 分解为：1000102001000111,201000511600100055L U ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭指出：用分数而表示元素，不能化成近似小数也不化成小数表示。

3、用LU 分解紧凑格式分解法解方程组。

123457910168109171087157651x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解一，用一般格式求解： 将系数矩阵作LU 分解得：10005791062410003555,71171000552213000101105L U ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪==- ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ly=b 方程组为 1234100061100517111052131015y y y y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭解之得123411512310y y y y ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭同样地，解方程组Ux=y 得1234201253x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解二，用LU 紧凑格式分解法求解： 对增广矩阵三角分解：579101579101579101662418109136810915555571087177110871871552576511765110651579101579101624163555557117155222310515⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭241355571171552223131051010⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ 原方程组化成同解的上三角方程组为： 12342343445791012413555171522131010x x x x x x x x x x +++=⎧⎪⎪---=-⎪⎪⎨--=-⎪⎪⎪=⎪⎩回代得(20,12,5,3)T x =--。

指出：紧凑格式是直接应用公式进行计算，计算结果保存在A 的相应元素位置。

从算法的角度，紧凑格式实际体现在数据的存储方法上。

由于紧凑格式计算时不再需要A 的前面的元素，因此可以进行。

4、 用列主元的三角分解法解线性方程组。

1231231232213472320x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩ 解一，列选主元素消元法：先选第一列主元为213a =，将第一个方程与第二个方程交换，消去1x 得：123232334752433371414333x x x x x x x ⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪--=-⎪⎩再选第二列主元为3273a =-，交换第二、三两个方程，消去2x 得三角形方程组：1232333477141433312633x x x x x x ⎧⎪-+=⎪⎪--=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩回代求得方程组的解312x =，21x =，12x =所以方程组的解为1(2,1,)2T x =。

解二，列主元素三角分解法：21233247122132471(,)32471221221323202320232033247324722714143203333311522121337A b r r r r ⎛⎫ ⎪-----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-↔---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪--⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ -- ⎪ ⎪ ↔--→--- ⎪ ⎪ ⎪ -------⎝⎭⎝⎭u u u u u u u r u u u u u u u r 32472714143333154237⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪→---⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭同解的三角形方程组为1232333477141433342x x x x x x -+=⎧⎪⎪--=-⎨⎪⎪-=-⎩回代求得方程组的解312x =，21x =，12x =所以方程组的解为1(2,1,)2T x =。

精品文档说明：用矩阵讨论中，矩阵元素进行了化简。

5．用追赶法解方程组2111210,12101210120A b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。

分析： 三对角矩阵11221n n n A αβγαβγα-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O O O 可以分解如下形式的两个矩阵：11222331111,1n n n u l u L l U u l u βββ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OO O O 。

即11112222233111111n n n n n n u l u l u l u βαββγαββγα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭O OO O O O O 由矩阵乘法规则，有 1111(2,3,)(2,3,,)i ii i i i i u l i n u u l i n αγαβ--⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=-=⎩L L ， 这样可以求出矩阵L 和U 的所有元素。

设有系数矩阵为A 的方程组： 12,(,,)T n Ax b b b b b ==L ， 这样的方程组称为三对角方程组。

三对角方程组经LU 分解分解为 ,Ly b Ux y ==， 求解之111,2,3,,ii i i y b y b l y i n -=⎧⎨=-=⎩L ， 1(),1,2,,1n n nii i i i x y u x y x u i n n β+=⎧⎨=-=--⎩L 这就是所谓追赶法。