L ( 穿 过L )

b c d a B dl B dl B dl B dl B dl 0
a b c d
2018/9/26
19/31
B d c
d
a b
a b
B
内
0
B外 0
I
2018/9/26
内
NI
1 r
0 NI B内 2r
o
R1
R2
r
26/31
练习： 若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面的磁通量 .
N ,I
h R2 R1
dS
dS hdr ( R2 R1 )dr d m B内 dS
c
n, I
d 得： B dl B dl 0
b a c d B dl B dl b a c
B dl
c d
即：Bab ab Bdc dc ， 由此可得： Bab Bcd Bab Bcd
不穿过 L 的电流：对 L上各点 B有贡献； 对 B dl 无贡献。
L
2电场
高斯定理
环路定理
1 E dS
S
0
q
内
E dl 0
L
有源场
保守场、有势场
B dS 0
S
B dl 0
I
B
作矩形安培环路如图，
规定： +
b
a
d

c

L
b c d a B dl B dl B dl B dl B dl
a b c d
B cos ab 0 0 0 Bab
流的贡献
L
0
( 穿 过L )
2018/9/26
I
L
L
i
穿过L电流的贡献
7/31
2.推广：稳恒磁场的安培环路定理

L
B dl 0
(穿 过L )
I
B
i
稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径 L 的线 积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与真 空磁导率的乘积. 成立条件：稳恒电流的磁场
0 Ir B内 r 2 2R
o
R
r
10 - 14 （旧) 14/31
思考：无限长均匀载流直圆筒 B ~ r 曲线？
B
1 r
o
B内 0
r
0 I 2r
R
B外
B外方向与 I 指向满足右旋关系
等价于全部电流集中于轴线的无限长直电流
2018/9/26
15/31
[例二] 无限长载流直螺线管的磁场（ I . n . 线密绕）
以便可以找到恰当的安培环路 L ，使积分
能够积出，从而方便地求解 B
2018/9/26

L
B dl
12/31
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
（电流分布均匀）
I
R
o
r
P

L
r L o '
I dI
dI
' dB
P
dB
对称性分析
在 I 平面内，作以 o 为中心、半径 r 的圆环 L ， L 上各点等价： B 大小相等，方向沿切向 。 以 L为安培环路 ，逆时针绕向为正: + 2018/9/26 13/31
R l ，对邻近场点
n
单位长度上 的匝数

l
o
n, I
R

线密绕模型：螺距为零，视为一系列平行圆电流紧 密排列
2018/9/26
16/31
回顾上节：P 276 [例4]载流直螺线管轴线上磁场.
5/31
4）闭合路径不在垂直于电流的平面内
将Ｌ投影到垂直于电流的平面 （即 B 线所在的平面）内
I
o
o
L
dl dl
dl dl// dl
L
dl //
LB dl L B ( dl // dl ) B dl // B dl L L B dl // 0 cos 0
求： 解： 内部

B?

R
等效于长直螺线管： B 0 nI 单位长度上电流：
nI ?
nI 2R 2
B 0 nI 0 R B 0 R
2018/9/26
24/31
[例三]
载流螺绕环的磁场分布（ R1 . R2 . N . I
对环流的贡献为正，反之为负。
如果规定
与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系
I 0
I 0
统一为：
2018/9/26

L
B dl 0 I
3/31
2）选在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
0 I LB dl LB cosdl L 2 r rd
§ 10.3
磁场的高斯定理和安培环路定理（续）
一般方法： 用高斯定理和环路定理描述空间矢量场的性质。 比较
S
高斯定理
环路定理
内
1 静电场 E dS
稳恒 磁场
2018/9/26
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
S
LB dl ? ？
x x1 2
R P

n
I
B
x
BP
0 nI
2 2 x2 R2
x2
2 x1 R2 x1
L
无限长：
x1 ; x2 ,
I
2018/9/26
0 I 2 r dl 0 I 2 r 0
L
o
r
B
2/31
若电流反向
I
o
2 r I 0 B d l L 0 2 r dlcos
L
r B
0 I 2 r dl 0 I 2 r 0
与环路绕行方向成右旋关系的电流
L
0 I
2018/9/26
( I穿过L )
6/31
0 ( I不穿过L )
5）空间存在多个长直电流时
I2
I1
I3
L
I4
B B1 B2 Bn
由磁场叠加原理
LB dl L ( B1 B2 Bn ) dl B1 dl B2 dl Bn dl 空间所有电
（2）各点磁感应强度方向只能与轴线平行。
B
2018/9/26
18/31
下面证明螺线管内外磁场均匀：
B d c
a b
n, I
在螺线管内作如图矩形回路 abcd，其包围的电流为零， 由安培环路定理： B dl 0 I i 0
）
I,N
r
o
R1
L
R2
对称性分析
B 大小相等的点的集合： 同心圆 环上各点 B 方向： 切向
以中心 o ,半径
2018/9/26
r 的圆环为安培环路
+
25/31
I,N
r
o
R1
L

L
B dl B 2r 0 I内
R2
r R1 , r R2 :
I
R1 r R2 :
L
稳恒 磁场
i （穿过 L）
I
无源场
非保守场、无势场 （涡旋场）
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场） 2018/9/26 11/31
三 .安培环路定理的应用 ——求解具有某些对称性的磁场分布

L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
适用条件：稳恒电流的磁场
求解条件：电流分布（磁场分布）具有某些对称性，
螺线管内磁场是均匀的。
在螺线管外作如图矩形回路 abc d 螺线管外的磁场也是均匀的。
2018/9/26
，同理可证
20/31
下面说明螺线管内外磁场大小：
B
螺距为零，
磁感应线 不泄漏。
又：螺线管外的磁场是均匀的。
B外＝0
2018/9/26
21/31
下面求螺线管内磁场：
n
c
上节例题：无限长圆截面螺线管轴线上 B 0nI 本例：螺线管截面可以是任意异形截面， 螺线管内为均匀磁场。 B 内 0 nI 思考： 如果螺距不为零（螺旋电流） 对以上结果有无影响？ Bo =10－4
2018/9/26
Bi
23/31
练习：
半径 R无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
已知： .R .
B : 环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过 L ，
L 的所有电流的贡献） 不穿过 2018/9/26
8/31
L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）

(穿 过L )
L
B dl 0