J02
n2 0
2 3
mmgRdq
0
1 4
mR202
n 3R02 16m g
第 31 页
例6 一质量为 m 、长为 l 的均质细杆，转轴在 O 点，距A端 l/3 。 杆从静止开始由水平位置绕O点转动。求：
（1）水平位置的角速度和角加速度。
（2）垂直位置时的角速度和角加速度。
（3）任意位置时的角速度和角加速度。
0
J zd
1 2
J z 2
1 2
J
2
z0
q
定义： A q0 Mzdq
q
A
M q0
z
dq
合外力矩对定轴转动的刚体做的功等于刚体转动 动能的增量。
第 27 页
3.定轴转动刚体的重力势能
Ep Dmi ghi g Dmihi mg( Dmihi / m)
i
i
i
h
hC Dmihi / m
解
第 11 页
（1）由匀变速转动运动方程：
1 0 100 50 5 (rad/s2 )
t
10
（2）10s内，飞轮的角位移：
q
0t
1 2
t2
750
(rad)
N q / 2 375(r)
（3）t = 5s时， 0 t 75
飞轮边缘上一点P的速度大小：
v r 235.6(m/s)
dL Mdt d
dt
M mgr J sinq J
第 45 页
考察刚体中相互作用的两个质点i、j，其相互
作用力为fij和fji，对空间定点O，这对力的力 矩和为：
ri fij rj f ji (ri rj ) fij
rj
f ji 因相互作用力沿两点的连线，故
O
ri
fij
(ri rj ) fij 0
第 15 页
3.转动惯量 质点对定轴的转动惯量：
J z mr 2
质点系对定轴的转动惯量：
J z miri2
i
第 16 页
刚体（连续质量体）的转动惯量：
r2dV
V
J
r
2dm
r2 dS
m
S
r 2dl
l
dm
dV
dm
dS
dm
dl
J 的单位：kg·m2。 它与刚体对给定转轴的质量分布有关。
第3章 刚体的定轴转动 Chap.3 Rotation of Rigid Body
3.1 刚体定轴转动的运动学描述
1. 刚体的平动和转动 2. 角位移、角速度和角加速度 3. 刚体定轴转动的角量描述和线量描述的关系
第2页
1.刚体的平动和转动 刚体(rigid body)：
在运动过程中形状和大小都不变的物体。 研究刚体的运动，可以将刚体看成在运动过程中， 任意两质点之间的相对位置保持不变的质点系。
该点的切向加速度和法向加速度
a r 15.7(m/s2) an r2 5.55 104 (m / s2 )
a at2 an2 5.55 104 (m/s2 )
第 12 页
3.2 刚体定轴转动的转动定律
1. 质点系的角动量定理 2. 刚体的定轴转动定律 3. 转动惯量
第 13 页
1.质点系的角动量定理
如果将z轴沿x方向平移至距棒的中点C为h的A处：
JA
1 3
l 2
h
l 2
h
2
1 3
l 2
h
l 2
h
2
1 12
ml 2
mh2
如果取过杆的中点C并与z轴平行的轴为z’轴：
JC
1 3
1 2
m
1 2
l
2
2
1 12
ml 2
平行轴定理：
J A JC mh2
第 20 页
平行轴定理的证明
i
Ep mghC
C D mi
hc
hi
关于保守力、势能、机械能等的分析，同样适用于刚体
第 28 页
例5 半径为R，质量为m的圆形平板在粗糙的水平桌面
上，以初始角速度为0绕垂直于平板的中心轴转动， 摩擦系数为m，试求：
（1）经过多少时间该圆形平板才停止转动。 （2）该圆形平板转动多少圈后才停止。
第 29 页
解二：
mv0l
1 3
mv0l
J0
J 1 Ml2 3
0
2mv0 Ml
第 40 页
例8
第 41 页
1 2
mgl
1 2
J02
1 6
ml
2 2 0
1 2
J02
1 2
J2
1 2
Mv 2
J0 J Mvl
mMgs 0 1 Mv 2
2
m 6m2l
(m 3M )2 s
第 42 页
讨论
子细 弹绳
o
M iz (Ri Fi )z ri Fi sin
Z
Mz
Fi Fi
r
Fi
第 48 页
z
先研究一个质元 Dmi
对O点的角动量
L
ri D Li v i DLi Ri (Dmiv i )
q
Dmi
Ri
v i Ri
O
DLi Dmi Rivi
故棒的总角动量 L大小：
n
L Dmi Rivi ，方向如图
6
Jo
oq
1 2
J0 2
mg
l sin q
6
00
，重力势能零点取O点
可以求出任意位置的角速度和角加速度。
3g sinq
l
3g cosq
2l
第 34 页
3.4 角动量定理和角动量守恒定律
1. 刚体定轴转动角动量定理 2. 定轴转动的角动量守恒定律
第 35 页
1.刚体定轴转动角动量定理
第3页
平动和转动 平动(translation)：
刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。
rA rB BA BA 是恒矢量
dr dr
vA
A
dt
B
dt
vB
aA
d 2 rA dt 2
d 2 rB dt 2
aB
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
第4页
转动(rotation)：
刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体 的转动。这条直线称为转轴。转动又分定轴转动和非定轴转动
第5页
刚体的一般运动： 质心的平动＋绕过质心瞬时轴的转动
第6页
2.角位移、角速度和角加速度
角坐标：q (t)
在转动面内取一固定的方向Ox 作参方向，令OP与Ox方向的
夹角为角坐标q q (t)为刚体绕定轴转动的
J r2dm
J 2 R r3dr 0 R4 1 mR2 22
r dr Ro
第 22 页
例4 质量m1、半径为 R的实心滑轮，可绕通过其质心 的轴无摩擦的转动。一根轻绳绕在其上，绳端挂一质
量为 m2的物体，绳子与滑轮间无相对滑动。求物体下 落的加速度和绳子的张力。

解
T
R
J
1 2
m1R2
Ri (Fi
ji
fij
)
d dt
( Ri
miv i
)
N
i 1
Ri Fi +
N i 1
ji
Ri
fij
d dt
N
Ri miv i
i 1
N
Ri fij 0
i1 j i
N
i 1
Ri Fi
d dt
N i 1
Ri miv i
系统角动量对时间的变化率等于系统所受合外力矩。
第 14 页
运动学方程
第7页
角位移：Dq
角速度(Angular Velocity)：
lim Dq dq
Dt0 Dt dt
dq k ，方向: 右手螺旋方向
dt
角速度(Angular Acceleration)：β
β
dω dt
d2q
dt 2
k
第8页
刚体作匀变速定轴转动时，有以下的运动方程：
0 t
刚体中任一质元 mi 动能：
1 2
Dmivi2
1 2
Dmi ri 2 2
ri
vi
因此，刚体的转动动能：
Ek
1 2
Dmi ri 2
2
1 2
Dmiri2 2
Ek
1 2
J z 2
第 26 页
2.力矩的功 定轴转动的动能定理
Mz
Jz
d
dt
M zdq
Jz
d
dt
dq
Jz
dq
dt
d
J zd
q
q0 M zdq
(Lz )t Jiz (t)i (t)
i
第 37 页
(Lz )t0 Jiz (t0 )i (t0 )
i
2.定轴转动的角动量守恒定律
Mz 0
Lz J zt t J zt0 t0 const.
Lz Jii const.
i
若系统合外力矩为零，则系统的角动量守恒。 ——自然界重要的普遍规律
JZ
r 2dm
m
r2 r r (r h) (r h)
r2 h2 2h r
rdm 0 质心的定义 m
Jz
r2dm
m
h2dm 2h
m
m r2dm JC mh2
第 21 页
例3 一质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆盘，求通 过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。