i
12
M外 Mi外 ri Fi
i
i
----各质点所受外力矩的矢量 和称为质点系所受合外力矩
M内 Mi内 (ri fij ) 0
i
i
ji
----各质点所受内力矩 的矢量和
（证明如下：）
Fi
m2
m1
mi
fij ri
f ji m j
0
rj
13
内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出
碰撞时重力和轴力都通过O，
•O
v0 l m2
对O 力矩为零，故角动量守恒。
有
l 2
m2v 0
lm1l
l 2
m2
l 2
解得： 2m2 v 0
4m1 m2 l
m1
思考 （m1＋m2 ）的水平动量是否守恒？ 18
说明
1. 质点系的角动量定理也是适用于惯性系；
2. 外力矩和角动量都是相对于惯性系中的 同一固定点说的。质点系受的外力的矢量 和为零，但总外力矩不一定为零（eg:力偶） 角动量不守恒；
1
§3.1 质点的角动量守恒定律
一、质点的角动量
物理学非常注意守恒量的研究。 在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点） 转动时, 行星始终在同一个平面内运动的现象。 例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面 例如：银河系中的 每个恒星都有自己 的转动平面。
在这些问题中，存在 着质点的角动量守恒 的规律。
可绕其中点o处的细轴在光滑水平面上转动。初始时
杆静止,后有一小球C以速度v0垂直于杆碰A, 碰后与 A 合二为一。设三个小球的质量都是 m, 求:碰后杆转动 的角速度 ?
C
B
v0
o
A
【解】 选系统 : A+B+C
16
碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？
答：轴处有水平外力，动量不守恒。
碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？
3. 当质点系受的外力的矢量和不为零，但总 外力矩可为零时（eg:有心力），质点系总角 动量守恒； 4. 内力矩不影响质点系总角动量，但可影响 质点系内某些质点的角动量。
dL
d
(r p)
d
r
p
r
d
p
dt dt
dt
dt
vv
mvv
rr
r F
r
F
定义力对定点 O 的力矩 (moment of force) 为：
M
r M
rr
r F
· O r0 r •mF
M rF sin r0F
r0 r sin 称力臂 5
于是有
r
r M
d
L
dt
或
dL Mdt
— 质点角动量定理 （微分形式）
L = mvR，方向垂直圆面不变。

L
·v
O
R •m
同一质点的同一运动，其角动量却可以随固
定点的不同而改变。例如：
锥摆 O
LO rom mv
LO lmv
方向变化
l
m
O
LO
rom
mv
LO lmv sin 方向竖直向上不变
v
质点直线运动的角动量？？
4
二、质点的角动量定理
由
L
r
p
有：
常矢量
7
若 M 0 ，则 L 常矢量
M 0
的条件是
— 质点角动量守恒定律
F 0
或 F 过固定点：有心力
（如行星受的万有引力）
角动量守恒定律是物理学的基本定
律之一，它不仅适用于宏观体系，也 适用于微观体系，而且在高速低速范 围均适用。
8
角动量守恒定律可导出行星运动的开
普勒第二定律：
L
（书P79页例3.1）
0
“一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的
角动量对时间的变化率” — 质点系角动量定理 14
若 M外 0 ，则 L 常矢量
——质点系角动量守恒定律
即：“只要系统所受的总外力矩为
零，其总的角动量就保持不变。”
Lr p
M
d
L
dt
思考
质点系角动量守恒和动量守恒 是否相互独立？
15
例. 一长为 l 的轻质细杆两端分别固接小球 A 和 B, 杆
积分
t2
M
t1
d
t
L2
L1
—质点角动量定理 （积分形式）
t2
t1
M
d
t
称冲量矩 ——力矩对时间的积累作用
即“质点对固定点角动量的增量等于该质点
所受的合力的冲量矩”。 6
三、质点角动量守恒定律
由质点角动量定理：
M
d
L
dt
知：当Mv 0时，有：ddLvt 0
则质点的角动量：
v L
v L0
现的，对i , j 两个质点来说，它们相互作用的内
力矩之和为:
ri
fij
rj
f
ji
ri rj
fij
ri rj 与 fij 共线，
所以这一对内力矩之和为零。
同理可得所有内力矩之和为零。
于是有：
dL M外 dt
m2
mi ri rj
m1
fij ri
f ji m j
rj
答：轴处有水平外力，但没有外力矩，
角动量守恒。
设碰后 B 球的速度为v,
mv 0
l 2
(2m)v
l 2
mv
l 2
即
m v0
l 2
2m
l 2
2
m
l 2
2
可得 2v0
3l
17
例:一长为l 的轻质杆端部固结一小球m1 ，另 一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。
求：碰撞后杆的角速度ω 解： 选m1（含杆）+ m2为系统
【证明】
r1
因为是有心力场，所 以力矩 M=0,则角动 量守恒。
r2
F
r
Δr
vv
m
S
由角动量守恒定律：
r L
rr
mvr
常矢量
9
所以 mvr 与 rr 始终在同一平面内。
若经 t
时间
S 1 r 2
rr sin
1 2
rr rr
掠面速度：
L
dS
S
lim
d t t0 t
rr
1 r r
lim
2 t0 t
v1
11
§3.2 质点系的角动量守恒定律
一个质点系对一固定点的角动量 定义
为其中各个质点对该固定点的角动量的
矢量和，即：
L Li ri pi
i
i
dL dt
d（
dt i
Li）
i
d Li dt
Fi
m2
m1
mi
fij ri
f ji m j
0
rj
（M i外 M i内） M外 M内
r1
r2
F
r Δ r
vv
m S
1 rr d rr 1 rr vr
v L
常量
2 dt 2
2m
10
所以地球人造卫星 在近地点速度大， 在远地点速度小。
1970年 ，我国发射 了第一颗地球人造 卫星。
L
r1
r2
F
r
v2
m
近地点高度为 266 km, 速度为 8.13 km/s;
远地点高度为 1826 km, 速度为 6.56 km/s; 计算出椭圆的面积,根据“掠面速度”, 就可以得到绕行周期为 106分钟。
2
银河系
角动量是质点运动中的一个重要的物理量，在 物理学的许多领域都有着十分重要的应用。
质点m对惯性系中的固定
点O的角动量（动量矩）
定义为：
L
r
p
r
(mv )
L
p
·O
r
m•
大小：L rpsin rmv sin ， 单位：kg m2/s
方向：于r，p（v）决定的平面（右螺旋）
3
质点作匀速率圆周运动时， 对圆心的角动量的大小为