2.2.3独立重复试验与二项分布学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.知识点一独立重复试验思考1要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验.答案条件相同.思考2试验结果有哪些？答案正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生.思考3各次试验的结果有无影响？答案无，即各次试验相互独立.(1)定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.(2)基本特征：①每次试验是在同样条件下进行.②每次试验都只有两种结果：发生与不发生.③各次试验之间相互独立.④每次试验，某事件发生的概率都是一样的.知识点二二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B k表示仅投中k次这件事.思考1用A i如何表示B1，并求P(B1)，答案B1＝(A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A2A3)，因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1A2A3、A1A2A3、A1A2A3两两互斥，故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22＝0.096.思考2试求P(B2)和P(B3)答案P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384，P(B3)＝0.83＝0.512.思考3由以上问题的结果你能得出什么结论？答案P(B k)＝C k30.8k0.23－k(k＝0.1,2,3)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数， 设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n . 此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.类型一 独立重复试验的概率问题例1 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率. 解 (1)记预报一次准确为事件A ， 则P (A )＝0.8，5次预报恰有2次准确的概率为P ＝C 250.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×(0.2)4＝0.006 72≈0.01，所以所求概率为1－p ＝1－0.01＝0.99， 所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99. (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确， 所以概率为P ＝C 14·0.8×(0.2)3×0.8 ＝0.020 48≈0.02，所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02. 反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验. (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为12.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子. (1)求甲坑不需要补种的概率；(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P 1，另记有坑需要补种的概率为P 2，求P 1＋P 2的值.解 (1)∵甲坑内3粒种子都不发芽的概率为⎝⎛⎭⎫1－123＝18. ∴甲坑不需要补种的概率为1－18＝78.(2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为 P 1＝C 13×78×⎝⎛⎭⎫182＝21512.由于3个坑都不需补种的概率为⎝⎛⎭⎫783， 则有坑需要补种的概率为P 2＝1－⎝⎛⎭⎫783＝169512， 所以P 1＋P 2＝21512＋169512＝95256.类型二 二项分布例2 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X 的分布列.解 可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， P (X ＝0)＝C 05⎝⎛⎭⎫130⎝⎛⎭⎫235＝32243. P (X ＝1)＝C 15⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫234＝80243. P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫233＝80243. P (X ＝3)＝C 35⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫232＝40243. P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫134⎝⎛⎭⎫231＝10243.P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫135＝1243. 所以分布列为反思与感悟 1.本例属于二项分布，当X 服从二项分布时，应弄清X ～B (n ，p )中的试验次数n 与成功概率p .2.解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2…n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式.(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次.跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的分布列.解 取到黑球数X 的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15，那么P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150·⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫15·⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152·⎝⎛⎭⎫45＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153·⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为：类型三 二项分布的综合应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 解 (1)ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，ξ分布列为 P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4； P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235故η的分布列为(3)所求概率为P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0) ＝1－⎝⎛⎭⎫235＝211243.反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.跟踪训练3 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列.解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 个人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i. (1)这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4.由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19. 所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4，由于A 1与A 3互斥， A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列为1.若随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (X ＝2)＝( ) A.⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233B.⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133C.C 25⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫133 D.C 25⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233答案 D解析 ∵随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， ∴P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233. 2.一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是( )A.13B.23C.14D.25 答案 B解析 设此射手的命中概率为x ，则不能命中的概率为1－x ，由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1－8081＝181.有(1－x )4＝181.解得：x ＝23.3.下列说法正确的是________.①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12. 答案 ①②解析 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义.4.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________. 答案1132解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132.1.独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.2.如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k ·(1－p )n －k .此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n 展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式.一、选择题1.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312答案 A解析 根据独立重复试验公式，得该同学通过测试的概率为C 230.62×0.4＋0.63＝0.648.2.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (ξ≤3)等于( ) A.1132 B.732 C.2132 D.764答案 C解析 P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3) ＝C 06×⎝⎛⎭⎫126＋C 16·⎝⎛⎭⎫126＋C 26·⎝⎛⎭⎫126＋C 36·⎝⎛⎭⎫126＝2132.3.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45B.⎝⎛⎭⎫593×⎝⎛⎭⎫49C.35×14D.C 14×⎝⎛⎭⎫593×⎝⎛⎭⎫49 答案 B解析 由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球.故其概率为⎝⎛⎭⎫593×49.4.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为( ) A.C 23⎝⎛⎭⎫353×25 B.C 23⎝⎛⎭⎫352×23 C.C 34⎝⎛⎭⎫353×25 D.C 34⎝⎛⎭⎫233×13答案 A解析 在一次比赛中甲获胜的概率为35，输的概率为25.由题意知，甲队打完4局才胜，则第4局甲必胜，前3局中有2局甲胜，故甲队打完4局才胜的概率为C 23⎝⎛⎭⎫353×25. 5.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝⎛⎭⎫125B.C 25×⎝⎛⎭⎫125C.C 35×⎝⎛⎭⎫123D.C 25×C 35×⎝⎛⎭⎫125 答案 B解析 如图，由题可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率.所求概率为P ＝C 25×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫123＝C 25×⎝⎛⎭⎫125.故选B.6.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A.C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫235B.C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135C.C 57×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫135D.C 27×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232 答案 B解析 由S 7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为23，摸取白球的概率为13，则S 7＝3的概率为C 27×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫135，故选B. 二、填空题7.已知汽车在公路上行驶时发生车祸的概率为0.001，如果公路上每天有1 000辆汽车通过，则公路上发生车祸的概率为________；恰好发生一起车祸的概率为________.(已知0.9991000≈0.367 70,0.999999≈0.368 06，精确到0.000 1)答案 0.632 3 0.368 1解析 设发生车祸的车辆数为X ，则X ～B (1 000,0.001)(1)记事件A ：“公路上发生车祸”，则P (A )＝1－P (X ＝0)＝1－0.9991 000≈1－0.367 70＝0.632 3.(2)恰好发生一次车祸的概率为P (X ＝1)＝C 11 000×0.001×0.999999≈0.368 06≈0.368 1.8.设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥1)＝________.答案6581解析 P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝59.即(1－p )2＝49，解得p ＝13，故P (η≥1)＝1－P (η＝0)＝1－(1－p )4 ＝1－⎝⎛⎭⎫234＝6581.9.一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，设停止时，取球次数为随机变量X ，则P (X ＝5)＝________. 答案881解析 X ＝5表示前4次中有2次取到红球，2次取到白球，第5次取到红球.则P (X ＝5)＝C 24⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232×13＝881. 10.张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟.假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为_____.答案6581解析 如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－134＝6581. 三、解答题11.在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中选做一题.设4名考生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为ξ，求ξ的分布列.解 (1)设事件A 表示“甲选做第21题”，事件B 表示“乙选做第21题”， 则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A B ”，且事件A 、B 相互独立. 故(AB ＋A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4， 且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，12， 则P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫1－124－k ＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4). 故变量ξ的分布列为12.某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为12，复审能通过的概率为310，各专家评审的结果相互独立.(1)求某应聘人员被录用的概率.(2)若4人应聘，设X 为被录用的人数，试求随机变量X 的分布列.解 设“两位专家都同意通过”为事件A ，“只有一位专家同意通过”为事件B ，“通过复审”为事件C .(1)设“某应聘人员被录用”为事件D ，则D ＝A ∪BC ，因为P (A )＝12×12＝14， P (B )＝2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12， P (C )＝310， 所以P (D )＝P (A ∪BC )＝P (A )＋P (B )P (C )＝25. (2)根据题意，X ＝0,1,2,3,4，且X ～B ⎝⎛⎭⎫4，25. A i 表示“应聘的4人中恰有i 人被录用”(i ＝ 0,1,2，3,4)，因为P (A 0)＝C 04×⎝⎛⎭⎫354＝81625，P (A 1)＝C 14×25×⎝⎛⎭⎫353＝216625， P (A 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫352＝216625， P (A 3)＝C 34×⎝⎛⎭⎫253×35＝96625， P (A 4)＝C 44×⎝⎛⎭⎫254×⎝⎛⎭⎫350＝16625.所以X 的分布列为13.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击.问：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？解 设A ＝{甲射击一次击中目标}，B ＝{乙射击一次击中目标}，则A 、B 相互独立，且P (A )＝23，P (B )＝34. (1)设C ＝{甲射击4次，至少有1次未击中目标}，则P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫234＝6581.(2)设D ＝{两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次}，∴P (D )＝C 24·⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫132·C 34·⎝⎛⎭⎫343·14＝18. (3)甲恰好射击5次，被中止射击，说明甲第4、5次未击中目标，第3次击中目标，第1、2两次至多一次未击中目标，故所求概率P ＝⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132·23·⎝⎛⎭⎫132＝16243.。