7.4 二项分布与超几何分布（精讲）考法一 二项分布【例1】（2020·全国高二课时练习）高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为X ，求X 的分布列. 【答案】（1）14；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）记“小球落入4号容器”为事件A ，若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，∴理论上，小球落入4号容器的概率43411()C 24P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）落入4号容器的小球的个数X 的所有可能取值为0，1，2，3，303127(0)C 1464P X ⎛⎫∴==⨯-= ⎪⎝⎭， 2131127(1)C 14464P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，2123119(2)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)C 464P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， X ∴的分布列为【一隅三反】1．（2020·重庆市第七中学校高二月考）若随机变量14,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，则()21E X +=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为14,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，所以1422EX =⨯=，所以()21215E X EX +=+=.故选：D. 2．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知随机变量120,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若使()P X k =的值最大，则k 等于（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC【解析】令()()1201120202012120331221233k k k k k k C P X k kP X k k C +--+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+-⎝⎭⎝⎭==>=+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得k 6<，即当k 6<时，()1()P X k P X k =+>=； 当6k =时，()()76P X P X ===； 当6k >时，()1()P X k P X k =+<=， 所以(6)P X =和()7P X =的值最大. 故选：BC .3．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高二期末）江苏实行的“新高考方案：312++”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门某校，根据统计选物理的学生占整个学生的34；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为23；在选历史的条件下，选地理的概率为45． （1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X ． ①求随机变量2X =的概率； ②求X 的概率分布列以及数学期望． 【答案】（1）710；（2）①4411000；②分布列见解析，()2110E X =. 【解析】（1）该校最终选地理的学生为事件A ，()32147434510P A =⨯+⨯=； 因此，该校最终选地理的学生为710； （2）①由题意可知，73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()22373441210101000P X C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭； ②由于73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()33270101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()121373189110101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22373441210101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()33373433101000P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：()72131010E X ∴=⨯=．4．（2020·陕西渭南市）已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假设某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；（2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）827；（2）答案见解析；14881. 【解析】（1）记“该小组有两次失败”为事件A ，222412248()338127P A C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意可知X 的可能取值为0，2，4.2224128(0)3327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 13311344121232840(2)33338181P X C C +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 444442116117(4)338181P X C C +⎛⎫⎛⎫==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故X 的分布列为：84017148()024********E X =⨯+⨯+⨯=. 考点二 超几何分布【例2】（2020·全国高二单元测试）现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．（1）求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；（2）若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；（3）若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．【答案】（1）a＝0.0250，4人；（2）答案见解析；（3）34.【解析】（1）由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250. 其中为一级运动员的概率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．（2）由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3，P(X＝0)＝312316CC＝1128，P(X＝1)＝21243161C CC⋅＝3370，P(X＝2)＝24113162C CC⋅＝970，P(X＝3)＝34316CC＝1140，∴X的分布列为（3）由已知得Y～B1 (3,)4，∴E(Y)＝np＝3×14＝34，∴含有一级运动员人数Y 的期望为34. 【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）新冠肺炎疫情期间，为了更有效地进行防控，各地学校都发出延期开学的通知.很多学校及老师为响应各地教育行政部门实行“停课不停学”的号召，让学生们在家通过收看网络直播的方式进行学习，已知高一某班共有学生21人，其中男生12人，女生9人.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，测试他们对网络课程学习的效果，效果分为优秀和不优秀两种，优秀得2分，不优秀得1分. （1）应抽取男生､女生各多少人？（2）若抽取的7人中，4人的测试效果为优秀，3人为不优秀，现从这7人中随机抽取3人. （i ）用X 表示抽取的3人的得分之和，求随机变量x 的分布列及数学期望；（ii ）设事件A 为“抽取的3人中，既有测试效果为优秀的，也有为不优秀的”，求事件A 发生的概率. 【答案】（1）4人；（2）（i ）分布列答案见解析，数学期望：337；（ii ）67.【解析】（1）因为采用分层抽样的方法进行抽样，所以应抽取女生97321⨯=人，抽取男生127421⨯=人. （2）（i ）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6.0343371(3)35C C P X C ===， 12433712(4)35C C P X C ===， 21433718(5)35C C P X C ===，3043374(6)35C C P X C ===， 所以随机变量X 的分布列为数学期望11218416533()345635353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （ii ）由（i ）知12186()(4)(5)35357P A P X P X ==+==+=， 故事件A 发生的概率为67. 2．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）某校五四青年艺术节选拔主持人，现有来自高一年级参赛选手4名，其中男生2名;高二年级参赛选手4名，其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A 发生的概率; （Ⅱ）设X 为选出的4人中男生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）635（Ⅱ）分布列见解析，数学期望52【解析】（Ⅰ）由已知有()2222233348635C C C C P A C +==，所以事件A 发生的概率为635.（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4，()()453481,2,3,4k kC C P X k k C -=== 所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 3．（2021·北京东城区）为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表.（1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？（2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（3）试判断男学生完成套卷数的方差21s 与女学生完成套卷数的方差22s 的大小（只需写出结论）. 【答案】（1）796（2）详见解析（3）2212s s > 【解析】（1）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4,由题意可知,()1341712896P A ⨯+⨯==⨯.（2）完成套卷数不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X 的取值为0,1,2,3,4.由题意可得()44481070C P X C ===；()13444816817035C C P X C ====；()224448361827035C C P X C ====； ()31444816837035C C P X C ====；()44481470C P X C ===.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值116361610123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (3)2212s s >.考点三 二项分布与超几何分布综合运用【例3】（2020·浙江台州市·高二期中）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）114400；（2）选择第二种方案更合算.【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()21213101120C C P A C ==， 所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=；（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、500、700、1000.()212131010120C C P X C ===，()21273107500120C C P X C ===， ()1217310770040C C P X C ===，()177911000112012040120P X ==---=.故X 的分布列为，所以()0500700100091012012040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-， 由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=， 所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=（元）. 因为()()E X E Z >，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.【一隅三反】1．（2020·辽宁大连市）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （1）求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；（2）求在4次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X . 【答案】（1）①15，②710；（2）分布列见解析，145. 【解析】（1）设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),=i A i①2132322531().5==C C P A C C · ②设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =⋃，又21121332222222253531(),2=+=C C C C C P A C C C C ··且A 2，A 3互斥， 所以23117()()().2510P B P A P A （2）由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由（1）7()10P B =，3()1()10P B P B =-=， 44381(0)()1010000P X P B ⎛⎫⎡⎤==== ⎪⎣⎦⎝⎭， 331473189(1)()()410102500P X C P B P B ⎛⎫⎡⎤===⨯⨯= ⎪⎣⎦⎝⎭， []222224731323(2)()()610105000P X C P B P B ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===⨯⨯= ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ []3334731029(3)()()410102500P X C P B P B ⎛⎫===⨯⨯=⎪⎝⎭[]4472401(4)()1010000P X P B ⎛⎫====⎪⎝⎭ 所以X 的分布列是显然7~B 410X ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，所以X 的数学期望E(X)=7144105⨯=． 2．（2020·广东云浮市）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?【答案】(1) 甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2； (2)甲通过面试的概率较大． 【解析】（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量， 依题意可得：~(6,3,4)X H ，∴1223461(1)5C C P X C ⋅===，4212363(2)5C C P X C ⋅===，3042361(3)5C C P X C ⋅===， ∴X 的分布列为：∴1232555EX =⨯+⨯+⨯=． 2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴0303211(0)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132162(1)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 212321124(2)C 33279P Y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333218(3)3327P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴Y 的分布列为：∴01232279927EY =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）2221312(12)(22)(32)5555DX =⨯-+-⨯+-⨯=， 2121333(3)DY np p =-=⨯⨯=，∵DX DY <，∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大．3．（2021·哈尔滨市）一批产品共10件，其中3件是不合格品，用下列两种不同方式从中随机抽取2件产品检验：方法一：一次性随机抽取2件；方法二：先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件.记方法一抽取的不合格产品数为1ξ.记方法二抽取的不合格产品数为2ξ. （1）求两种抽取方式下1ξ，2ξ的概率分布列；（2）比较两种抽取方式抽到的不合格品平均数的大小？并说明理由. 【答案】（1）1ξ，2ξ的分布列见解析；（2）平均数相等，理由见解析.【解析】（1）方法一中随机变量1ξ可取的值为0，1，2，且1ξ服从超几何分布，于是()023*********C C P C ξ⋅===；()113712107115C C P C ξ⋅===； ()203712101215C C P C ξ⋅===； 因此1ξ的频率分布可表示为下表：方法二中随机变量2ξ可取的值为0，1，2，且2ξ服从二项分布，于是()02022374901010100P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()12237211101050P C ξ==⋅⋅=； ()22223721010P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；因此2ξ的频率分布可表示为下表：（2）由（1）知，方法一中1ξ的数学期望为()10121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=， 方法二中2ξ的数学期望为()2332105E ξ=⨯=， 所以两种方式抽到的不合格品平均数相等.。