小波分析湍流实验数据的子波分析：用子波分析研究湍流边界层的多尺度相干结构一、 原理1、 局部平均的结构函数基于湍流局部平均概念粗粒化的速度结构函数：],[],[)()(),(b a b x a b b x x u x u b a u -∈+∈-=δ （3-1-1）)(x u 表示在中心分别为2a b -和2a b +，尺度为a 的两个相邻湍流结构中流体相对运动速度的局部平均，a 为湍流结构的空间尺度，b 为两个相邻湍流结构的接触点的空间位置。
2、 子波变换在湍流多尺度结构研究中的意义连续Harr 子波变换为：])()([1)()(1)()()(),(),(,,dt t u dt t u a dt a b t H t u a dtt H t u t H t u b a W b a b b b a b a b a H ⎰-⎰=⎰-=⎰>==<++-∞+∞-+∞∞- （3-1-6） （3-1-6）式的物理意义是在时间段],[b b a t +-∈内热线探针测量到的流体的平均速度与在时间段],[b a b t +∈内热线探针测量到的流体的平均速度的差。
湍流中不同尺度流动结构的多尺度特征与子波变换的多分辨概念是一致的，可以用子波变换的多分辨分析理论研究湍流结构的多尺度特征，可以用（3-1-6）式定义一定尺度a 和一定位置b 下的局部平均的湍流速度结构函数。
3、 用子波分析检测湍流中多尺度相干结构的方法采用了两种不同的检测准则来提取湍流中的相干结构,分别如下所述：检测准则一：该检测准则的提出，主要基于尽可能完全、彻底地提取出湍流中全部相干结构的思想，其中瞬时平坦因子),(b a FF 的值以3做为判断界限。
本方法主导思想比较简单，直观印象简单明了，即只要在单一尺度a 下点b 的瞬时平坦因子),(b a FF 值大于3就视其为该尺度下的一个相干结构。
其检测过程为：分尺度计算各点b 的瞬时平坦因子),(b a FF ，如果),(b a FF 大于3，则认为检测到该尺度下的一个相干结构；如果),(b a FF 不大于3，则不视其为一个相干结构。
检测准则二：为了在所有的尺度中系统地选择事件，我们采取一种后验的选择门限值的方法，即利用在每一个尺度下使平坦因子等于3的方法来选择瞬时强度因子),(b a I 的门限值L 。
这种方法可以简单地概括为：首先在每个子波尺度上计算平坦因子，如果在某尺度上平坦因子)(a F 小于3，则不检测事件；若大于3，则在I 函数上假设一个门限值L ，将瞬时强度因子),(b a I 中大于门限值L 的点的子波系数),(b a w 置为零，然后重新计算平坦因子。
如果平坦因子仍然大于3，那么降低门限值L ，重复上述过程直到使平坦因子等于（或小于）3。
通常不同尺度的门限值不同，较小的尺度需要较低的门限值。
检测出了相干结构，就将信号分解为两部分：一部分信号使所有尺度的子波系数具有相同的准高斯概率密度函数；另一部分信号仅为湍流相干结构，它是产生奇异标度律的原因。
二、 程序分析程序由五个源文件组成：1AAA.Cpp,2AAA.Cpp,3AAA.Cpp,common.h,common.cpp ，可编译生成3个可执行文件，参见备注。
仔细阅读程序，并与原理中内容、公式相印证。
1、 列出计算相关系数的代码段void recon_dowt(void){ int i,j;int c;c=1;for(i=1;i<M;i++) c=c*2;for(j=M;j>=1;j--) {stradd(fn30,j);ReadWaveFile(fn30, bb, NN );sub_redowt(c, NN, uu, aa, bb );c=c/2;for(i=0;i<NN;i++)uu[i]=aa[i];}2、 列出相干结构检测中，计算使得平坦因子等于3的门限值的代码段。
m = GetThreshold( N, ii, w2[j] ,&F[j],&L[j]); // 计算在尺度j 下，使得平坦因子F[j]等于3的门限值，保存于L[j]中，int GetThreshold( int nn, double * ii, double Wj ,double * Fj,double * Lj) {int i,j;int num;double b2,b4;double Lmin = 0;double Lmax = 0;double Ltmp = 8;for(j=0;j<2000;j++) {num = 0;b2 = 0.0;b4 = 0.0;for(i=0;i<nn;i++) {if( (ii[i]/Wj) <= Ltmp ) {num++;b2 += ii[i];b4 += ii[i]*ii[i];}}b2 /= num;b4 /= num;b4 = b4/(b2*b2);if( b4 < 2.99 ) {Lmin = Ltmp;if( Lmax == 0 ) {Ltmp *= 2;continue ;}} else if( b4 > 3 ) {Lmax = Ltmp;} else {break;}Ltmp = Lmin+(Lmax-Lmin)/2;}*Fj = b4;*Lj = Ltmp;return(j);}3、列出相干结构检测中，计算相位平均波形的代码段for(k=period[j]*nperiod/2;k<N-period[j]*nperiod/2;k++) { // 计算相干结构的相位平均值if( (ii[k]/w2[j])>L[j] ) {if(bb[k]>bb[k+1]) {// if(bb[k]>0) {for(m=0;m<=period[j]*nperiod;m++)pp1[m] = pp1[m] + uu[k-period[j]*nperiod/2+m];kkk1++;}if(bb[k]<bb[k+1]) {// if(bb[k]<0) {for(m=0;m<=period[j]*nperiod;m++)pp2[m] = pp2[m]+ uu[k-period[j]*nperiod/2+m];kkk2++;}}}三、 流动实验数据的采集和处理实验数据为热线探针获得的流场某一点处的速度值时间序列，采样间隔为0.00002秒（或频率50K=50x1024HZ ）和采样点数1048575（或时长20.48秒），利用上述程序对实验数据进行处理。
共55个数据文件，每个同学处理一个，按学号分配。
1、 问在采样频率4K ，采样时间2秒的情况下，数据属于那一个haar 尺度空间，维数是多少，反映的信号最高频率是多少？答：数据属于V 12haar 尺度空间，维数是13，信号最高频率是2K 。
2、 画出能量随尺度分布曲线，并叙述能量最大准则。
024681012141618200100002000030000400005000060000不 加热法 向位置Y 0.2mm 1.0mm 2.0mm 3.0mm 4.0mm 6.5mm 9.0mm 11.5mm 14.0mm 19.0mm 24.0mm E (a)log 2a 02468101214161820010000200003000040000500006000070000 加热法向位置Y 0.2mm 1.0mm 2.0mm 3.0mm 4.0mm 6.5mm 9.0mm 11.5mm 14.0mm 19.0mm 24.0mm E (a)log 2a图3.3(a) 壁面常温时在丝之间沿法向位置各尺度参数的能量分布 图3.3（b ）壁面加热时在丝之间沿法向位置各尺度参数的能量分布 02468101214161820-1000010000200003000040000500006000070000log 2a 不 加热法 向位置Y 0.2mm 1.0mm 2.0mm 3.0mm 4.0mm 6.5mm 9.0mm 11.5mm 14.0mm 19.0mm 24.0mm 024681012141618200100002000030000400005000060000log 2a 加热法 向位置Y0.2mm1.0mm2.0mm3.0mm4.0mm6.5mm9.0mm11.5mm14.0mm19.0mm24.0mm图3.3(c) 壁面常温时在丝正上方沿法向位置各尺度参数的能量分布 图3.3（d ）壁面加热时在丝正上方沿法向位置各尺度参数的能量分布信号的能量可以按照尺度进行分解，各尺度信号占有的动能的总和等于信号的总动能。
根据子波系数W s (a,b )，信号S(t)的能量可以分解为⎰⎰+∞+∞∞-=022)(|)(|da aa E dt t s (3.1.3) 其中⎰+∞∞-=db b a W Cw a E S 2|),(|2)( (3.1.4) 对壁湍流速度信号u (t ) 利用定义（3.1.1）进行子波分析，可以得到其子波系数W u (a,b)，并根据(3.1.4)得到了壁湍流脉动速度动能E(a)随尺度参数a 的分布，其中，存在着一个能量最大尺度a*，该尺度对应的湍流结构占有最多的湍流脉动动能。
因此，可以按能量最大准则确定壁湍流相干结构对应的时间尺度。
3、 画出某一尺度的子波系数自相关曲线，并叙述如何确定涡结构的时间尺度。
图3-8 涡在物理空间的自相关函数形状用自相关法确定湍流结构的不同尺度。
相干结构的尺度不同，其周期—用原始信号进行相位平均时应选取的长度也应该不同，这个周期是可以由自相关法确定。
对湍流分尺度的流向脉动速度进行自相关分析，其达到第二个峰值的延迟时间应该对应于该尺度相干结构的周期。
这一长度等价于自相关波形两波谷间的距离。
4、 画出某一尺度下的相位平均波形，并简述其表示的速度变化过程（可参考樊星的陈述）-20020406080100120140160-0.0050.0000.0050.0100.0150526030106<u (t )>t图3-9 能量最大尺度奇异结构的条件相位平均波形点是按流体质点经过探针的时间先后排列的。
在物理空间中可以将一个事件分为三部分：相干结构最下游头部的速度稍快，有缓慢的拉伸作用；中间部分则是下游速度慢，上游速度突然急剧加快的一个强烈压缩过程，上游流体对下游流体有剧烈的推动作用，这一部分的作用非常短暂，但作用最为强烈；最后部分仍然是下游流体和上游流体的缓慢拉伸过程。
可以看到，两边的点很密集，速度变化缓慢；中间的点稀少，速度梯度很大。
这说明一次猝发中，低速条纹结构限要由一个缓慢的拉伸过程，然后导致一个急剧的压缩，在压缩过程中低速条纹结构向上抬升并剧烈喷射，使当地速度降低，然后再缓慢的拉伸。