八年级上册学生辅导材料－－勾股定理
1、 勾股定理：
几何语言： 如图，在Rt △ABC 中，∠C= 90°
根据勾股定理：222c b a =+
1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为3cm ，4cm ，则斜边长为_________ 斜边上的中线长为_____________，斜边上的高长为_________________
2、在Rt △ＡＢＣ中， ＡＢ＝c ， ＢＣ＝a ， AC ＝b ，，∠C=90°，（要求画出草图）
①已知a=5，b=12，求c ？ ②已知a=15，c=25，求b ？ ③若a ∶b=3∶4，c=10求ABC S ∆？
3、如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆， 求地面钢缆固定点A 到电杆底部B 的距离．
4、一直角三角形的三边分别为2、3、x ，那么以x 为边长的正方形的面积为 （ ）
A 、13
B 、5
C 、13或5
D 、无法确定
5、下图由４个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm ，求第4个直角三角形斜边长 度是 cm 练习：
6、正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ） A 、2 B 、2 C 、22 D 、4
7、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（ ） A 、6 B 、6 C 、5 D 、4
8、如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部 抵着地面，此时，顶部距底部有 m ；
9、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD ，AB=60m,BC=84m,
AE=100m,•则这条小路的面积是多少?
10、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？
2、勾股定理的逆定理：
______________________________________________________________.
判断一个三角形是否为直角三角形
方法：（1）先确定最大边（如c ） （2）验证2c 与22b a +是否具有相等关系
（3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。

勾股数： 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数。

如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41
11、如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
从点A 出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点上，且长度分别为 （1）32； （2）25； (3) 10 (4)13
12. 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２， ＢＣ＝４， ＡＣ＝23， ∠C ＝３０°， 求∠B 的大小．
13. 如图，AD ⊥CD ， ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３， 已知
8km
C
A
B 6km
A
B C
D
∠C ＡＢ＝ ，求∠B ．
14、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工
人师傅量得这个零件各边尺寸如图，请问这个零件符合要求吗？
15、如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC, △ADC 的面积为30， DC=12,AB=3,BC=4,求△ABC 的面积 练习
1. 若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x ，试求出x 的所有可能值．
2.如图，已知CD ＝６m ， AD ＝８m ， ∠ADC ＝９０°， BC ＝２４m ， ＡＢ＝２６m ．求图中阴影部分的面积．
3. 如图，四边形ＡＢＣD 中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD ＝３， ＤＡ＝１， 且∠B ＝９０°，求∠D ＡＢ的度数．
4. 有一块四边形地ＡＢＣD （如图），∠B ＝９０°， ＡＢ＝４m ， ＢＣ＝３m ， CD ＝１２m ， DA ＝１３m ， 求该四边形地的面积． 3、勾股定理的应用： (一)面积问题：
1.如右图，字母“A ”所代表的正方形的面积为________________；
2．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为
________．
3. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A 、 B 、 C 、 D 的面积和= ．
4.如右图, 在Rt △ABC 中，分别以三边为直径向形外作半圆，若三个半圆 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1+S 2与S 3的大小关系是…………( )
A B
D C
34
5
12
13
D
C
B
A N O
M
A
M O
N B
A. S 1+S 2﹥S 3
B. S 1+S 2=S 3
C. S 1+S 2﹤S 3
D. 无法确定 5. 如图，已知直角三角形ＡＢＣ的三边分别为6、８、10，分别以它的三 边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积= ．
（二）勾股定理在立体图形中的应用：
例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．（精确到０.０１cm ） 图14.2.1
练习1：一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD 的中点O ，已知底面周长为8,高为6,试求出爬行的最短路程。

（精确到0.1）
2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于36cm ，10cm 和6cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只小虫子，想到B 点去吃可口的食物。

请你想一想，这只小虫子从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？ 例2、一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高
为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？
练习3、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和
10㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少㎝．(保留1位小数)
（三）方程思想：
一、利用方程求线段长
1.如图，一架长为5米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上， 梯子底端距离墙ON 有3米。

①求梯子顶端与地面的距离OA 的长。

②若梯子顶点A 下滑1米到C 点， 求梯子的底端向右滑到D 的距离。

2.已知等腰直角三角形斜边的长为2cm ，这个三角形的周长是_________
3.Rt△ABC 中，∠ C=90°，若两直角边a,b 满足12,7==+ab b a ， 则=c
4.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A. 5
B.
C. 7
D.
5.国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m ，拉着绳子下端离开旗杆5m 时，绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高为_______．
6.如图一棵大树被台风吹倒，树的顶部落在离树跟底部8米且 （1）发现折断的部分长和没倒下的部分长的比值是5:3，求折断的部分多长？
（2）发现折断的部分比没倒下的部分长4米，求大树未断前的长度？
7.如图，公路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄， DA ⊥AB
于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路AB 上 建一车站E ， （1）若使得C ，D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少km 处？DE 与CE 的位置关系？
（2）若使得C ，D 两村到E 站的距离最短，E 站建在离A 站多少km 处？ 二、利用方程解决翻折问题
1. 如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知cm AB 8=，cm BC 10=，求EC 的长；
2.如图，在矩形ＡＢＣD 中，ＡＢ＝6cm ，ＡD=10cm,在边CD 上适当选定一点E ，沿直线AE 把△ADE 折叠，使点D 恰好落在边ＢＣ上一点F 处。

（1）写出图中相等的线段，看谁写的多！ （2）求线段BF 的长。

（3）试着求线段CE 、EF 的长。

3. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,
A
B C
D E F A D
E
B C
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于_________
4.AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD AE 重合，你能求出CD 的长吗？
5.如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向台风中心，沿BC 方向以15km/h 的速度向D A 到BC 的距离AD=100km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
A
B
C
D
第13题图。