§3.1勾股定理【知识点梳理】一、格点图形的面积在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.利用网格可以求出格点图形的面积. 例1：如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”.图中的四边形ABCD 就是一个“格点多边形”，求四边形ABCD 的面积.二、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.若把直角三角形的两条直角边和斜边分别记为c b a 、、（如图3.1.1），则222c b a =+例2：在Rt △ABC 中，∠C=90°.（1）如果AC=3,BC=4，那么AB= (2)如果AB=25，BC=24,那么AC=三、勾股定理的验证勾股定理的推导方法有很多种，到目前为止，能够验证勾股定理的方法有近500种.课本上是利用图形的“截、割、补、拼”来说明表示相同图形面积的代数式之间的恒等关系，既具有严密性，又具有直观性.例3：如图，分别以边长分别为c b a 、、（c 为斜边）的直角三角形的3边为边向外作三个正方形拼成如图所示的图形，是利用面积知识验证勾股定理.四、勾股定理的应用勾股定理揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系，只要知道直角三角形中任意两条边的长度就可以求出第三条边的长度.例4：如图，滆湖有A 、B 两点，从与BA 方向成直角的BC 方向上的点C 处测得CA=13米，CB=12米，求AB 长.【典例展示】题型一格点图形中的距离问题例1：如图，每个小方格的边长为1，A、B、C都在小方格的顶点上，则点B到AC所在直线的距离为题型二运用勾股定理求直角三角形的边长例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，求：（1）DE的长；（2）△ADB的面积.题型三折纸中勾股定理的运用例3：如图，四边形ABCD是一张边长为9的正方形，将其沿MN折叠，使点B落在边CD上的点B′处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（）A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5题型四运用勾股定理进行说理例4：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC的中点，BE与DF、DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．题型五 探索规律例5：如图，OP=1，过点P 作PP 1⊥OP 且PP 1=1，得OP=2；再过点P1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2=1，连接OP 2，得OP 2=3；又过点P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3=1，得OP 3=4；…依此法继续作下去，得OP 2014= ．题型六 运用方程思想解题例6:一个直角三角形的一条直角边长为5cm ，另一条直角边比斜边短1cm 。
求它的斜边长。
题型七 分类讨论题例7：在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，求△ABC 的周长.【误区警示】误点1 不能用图形面积表示代数式之间的数量关系，导致出现错误例1：如图是由四个相同的直角三角尺拼接成的图形，设三角尺的直角边长分别为)(b a b a ＞、，则这两个图形能验证的等式是（ ）A ．（a+b ）2-（a-b ）2=4abB ．（a 2+b 2）-（a-b ）2=2abC ．（a+b ）2-2ab=a 2+b 2D ．（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2误点2 不能正确把握勾股定理的内涵，导致出现错误例2：已知Rt △ABC 的两边长为3、4，求第三边长的平方.§3.2勾股定理的逆定理【知识点总结】一、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为c b a 、、，且222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形. 例1：如图，判断图中的三角形是否是直角三角形？为什么？二、勾股数满足关系222c b a =+的3个正整数c b a 、、称为勾股数.利用勾股数可以构造直角三角形. 例2：分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9.其中能构成直角三角形的有（ ）A.4组B.3组C.2组D.1组【典例展示】题型一 判断三角形的形状例1：已知△ABC 的三边长分别为c b a 、、，且满足0641615)17(22=+-+-+-c c b a ，则△ABC 是（ ）A.以a 为斜边的直角三角形B.以b 为斜边的直角三角形C.以c 为斜边的直角三角形D.非直角三角形题型二 运用勾股定理的逆定理进行计算例2：如图，在△ABC 中，D 为边BC 上的一点，AB=13，AD=12,AC=15,BD=5，求DC 的长题型三 运用勾股定理的逆定理进行说理例3：如图，在△ABC 中，AB=13cm ，BC=10cm ，中线AD=12cm ，试说明△ABC 是等腰三角形题型四 运用勾股定理的逆定理确定两直线的位置关系例4：如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，AB=5，AD=6，AC=13，试说明AD 与AB 的位置关系题型五 运用勾股定理的逆定理解决实际问题例5：如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国还与，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A 、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？题型六 探索性问题例6：我国估计《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究下两类特殊的勾股数：（1）通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a 、b 、c 为Rt △ABC 的三边，且a ＜b ＜c ）：（2）我们发现，表一中a 为大于l 的奇数，此时b 、c 的数量关系是；表二中a 为大于4的偶数，此时b 、c 的数量关系是 ；（3）一般地，对于表一，用含a 的代数式表示b= ；对于表二，用含a 的代数式表示b= ；（4）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，l2，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系…．请直接利用这一规律计算：在Rt △ABC 中，当a=53，b=54时，斜边c 的值．【误区警示】误点1 不能正确理解勾股定理的逆定理，导致出现错误例1：已知一个三角形的三边长为a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？误点2 思维定势误判直角，导致出现错误例2：在△ABC 中，∠A 、∠C 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且2))((c b a b a =-+，则（ ）A.∠A 为直角B.∠C 为直角C.∠C 为直角D.不是直角三角形§3.3勾股定理的简单应用【知识点总结】一、运用勾股定理解决实际问题在运用勾股定理解决实际问题时，应该构造直角三角形，然后把直角三角形的某些边表示出来，最后利用勾股定理解决实际问题例1：如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为多少米？若楼梯宽为3米，每平方米需要70元，则这块地毯需要多少元？二、运用勾股定理的逆定理解决实际问题如果三角形的三边长为c b a 、、满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形，这是根据三角形 三边长之间的数量关系来判定一个三角形是直角三角形的方法.例2：如果是某农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，挖完后他测量了一下，发现：AB=DC=8m ，AD=BC=6m ，AC=9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？【典例展示】题型一 折纸中的数学问题例1：如图，将长为10cm 、宽为8cm 的长方形ABCD 沿着折线AE 折叠，使长方形的一个顶点D 落在边BC 上的点D ′处，求这条折线AE 的长（精确到0.1cm ）题型二 生活中的数学问题例2：欲将一根长为129cm 的木棒放在长、高、宽分别为120cm 、40cm 、30cm 的木箱中，能放进去吗？例3：如图，A 、B 、C 、D 是四个小镇，它们之间（除B 、C 外）都有笔直的公路相互连接，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A-B：10元，A-C：12.5元，A-D：8元，B-D：6元，C-D：4.5元，为了B、C之间交通方便，在B、C之间建成笔直的公路，请按上述标准计算出B、C之间公共汽车的票价为多少元？题型三体现方程思想的问题例4：如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B有50米远，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？题型四体现数学建模思想的问题例5：如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？例6：如图，小亮将升旗的绳子拉倒旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉倒距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m题型五跨学科渗透题例7:如图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由点A射向平面镜反射之后恰巧经过B点，求B点到入射点的距离．题型六推理说明题2，试说明△ABC是直角三角形.例8：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，DB=CD•AD题型七操作性问题例9：如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段AB和CD分别是图中1×3的两个长方形的对角线，显然AB∥CD。
请你用类似的方法作出过点E且垂直于AB的直线，并说明理由.【误区警示】误点不能运用恰当的数学模型解决问题，导致出现错误例如图，有两棵树，一棵高6米。
另一棵高2米，两树两句3米。
一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？。