与 数
学期望和方差:E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,(i=1,2,...)则对于给定的ε>0,有
理 统 计 电
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1(2)
子 教 定理2可由定理1得到证明.这里我们说明上述两个定理都在概
案 率意义下的极限结论,通常称为依概率收敛.
武 汉
一般,设X1,X2,..Xn是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任
案 验.试验前不知道该天灯泡的寿命有多长,概率和其分布情
武
况.试验后得到这几个灯泡的寿命作为资料,从中推测整批
汉
科 技
生产灯泡的使用寿命.合格率等.为了研究它的分布,利用概
学
院 数
率论提供的数学模型进行指数分布,求出 值,再利用几天
理 系
的抽样试验来确定指数分布的合适性.
概
率 论
由于灯泡使用寿命的试验是破坏性试验.不能将所有的灯泡
子
教 案
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保
武 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度
汉 科
不高.为此我们研究下面的内容.
技
学
院
数
理
系
概
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
率 在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
论
与 地位事实上遇到的大量随机变量都服从正态分布。自然会提
数 理
φ[(X-μ)/σ]~N(0,1)的概率密度函数
统 计 电
lim p{ n np
x
x}
1
t2
e 2 dt
(6)
n np(1 p)
2
子
教
案 证明 由于服从二项分布的随机变量ηn可看成n个相互独立,
武 汉
服从同一个(0-1)分布的随机变量X1,X2,...Xn之和,即ηn=∑Xi
科 技
其中Xi(i=1,2,...,n)的分布律为 P{Xi=k}=Pk(1-P)1-k
理
6
统
计
电 子
E( X ) 1 (1 2 3 4 5 6) 7
6
2
教 案
D( X ) E( X E( X ))2 (1 7 )2 1 (2 7 )2 1 (3 7 )2 1
26
26
26
武 (4 7 )2 1 (5 7 )2 1 (6 7 )2 1 1 [2 (2.52 1.52 0.52 )] 35
Ck 10000
0.7k
0.310000k
k 6800
用切贝谢夫不等式估计
数 E np 10000 0.7 7000
理 统
D npq 10000 0.7 0.3 2100
计 电
p(6800
7200)
p(
7000
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
与 数
次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率?
理
统
计 分析:令第 I次轰炸命中目标的次数 i .100次轰炸中命中
电 子
目标次数
100
i
教 案
i 1
应用中心极限定理 i 服从正态分布期望值为
200,方差为169,标准差为13
武
汉
科
技
学 院
E 100Ei 200, D(1 2 ..100) 1001.69 169
)
案
D(X ) 35 1 35 1 16
武
X 2, 2
12 4 48 3 48
汉
科 技 学 院
p( X
)
2 2
, (14)
数
理
系
概 例2 在n重贝努里试验中，若知道每次试验A出现的概率为0.75
率 试用切贝谢夫不等式求n.使A出现的频率在0.74到0.76之间的概 论
与 率不少于0.9?
论 时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性. 与
数 理 定理3 统
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
计 电 子
lim
n
P{|
1 n
(X1
X2
... X
n)
p
|
}
1
教
案
即
lim P{| nA p | } 1
武
n
n
汉 科 技
定理3表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件A的概率p.
子 的稳定性,这就从理论上肯定了用算术平均值代替理论均值 教
案 的合理性.
武 贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立
汉 科
对于任意给定的ε>0,有
技
学 院 数 理
lim P{| nA p | } 1
n
n
系
概 lim P{| nA p | } 1
率 n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
科
技 学
意给定的ε>0,有 limP{|Xn-a|<ε}=1 则称该序列依概率收敛于a.
院
数理Biblioteka 系概率 论
定理2表明:当n很大时随机变量X 1 ,
X
2
,
,
X
的算术平X=Σ
n
X/in
与 数
在概率意义下接近于数学期望E(X
)=μ.
i
理 统
即表示在定理2的条件下,n个随机变量的算术平均值在n无限增
计 电
大时,几乎变成一个常数.它反映了大量测量值的算术平均值
统 计
6800和7200之间的概率?
电
7200
子
p(6800 7200 )
Ck 10000
0.7k
0.310000k
教
k 6800
案 分析:令 为夜晚同时开着灯的数目.它服从参n=100000,p=0.7
武 汉
的二项分布.用贝努里公式
科
技
学
院
数
理
系
7200
概 率 论 与
p(6800 7200 )
20 (4.36) 1
0.99999
概 率
数理统计的特点:它以随机现象的观察试验取得资料作
论 与
为出发点,以概率论为理论基础来研究随机现象.根据资料
数 为随机现象选择数学模型,且利用数学资料来验证数学模 理
统 型是否合适,在合适的基础上再研究它的特点,性质和规律
计 电
性.
子 教
例如灯泡厂生产灯泡,将某天的产品中抽出几个进行试
与 都进行试验.只能取部分的灯泡作试验.这产生二个问题.1是
数
理 抽取的灯泡是否有代表性.因为灯泡试验是一种随机现象,代
统 计
表性强的效果好.我们称为抽样方法.2是搜集到的数据怎样
电 子
进行正确的分析,是否能正确地推断出整体情况.我们称为统
教 计推断. 案
数理统计的重要内容是抽样方法和统计推断.学习数理统
学 院
定理3以严格的数学形式表达了频率的稳定性.因此在实际应用
数
理 系
中,当n很大时,我们可用事件的频率来代替概率.
概
例1 设 X 是抛一颗骰子所出现的点数，若给定X =1，2，
率 论
实际计算 p( X E(X ) )，并验证切贝谢夫不等式成立。
与 分析：因为X 的概率函数 数
p(X k) 1 , (k 1,2,..6)
数 理
出为什么正态分布如此广泛地存在，而且在概率论中占有重
统 计
要地位。应该如何解释大量随机现象中这一客观规律性呢？
电 李雅普夫证明：在某些非常一般的充分条件下，独立随机变
子
教 量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时是趋向正态分
案 布的。
武 汉
此后林德伯格又成功地找到独立随机变量和的分布，当随机
科
定理6表明,正态分布也是二项分布的极限分布(二项分布
子 教
的另一极限分布是泊松分布).当n充分大时,我们可利用
案
定理6来计算二项分布的概率.
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
概 例1 对敌人某地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸
率 论
弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69.求100
n i 1
[Xi
E( X i )] |
} 1(1)
案
武
证明:
由于X1,X2,...,Xn相互独立,故
D(
1 n
n i 1
Xi)
1 n2
n i 1
D(Xi )
C n
汉 再由切比雪夫不等式,可得
科
技
学 院 数
p( X
)
2 2
, (14) p( X
)
1
2 2
(15)
理
系
概
率
论
与
数 理
P{|
数 理
n 10, p 0.2, q 0.8, npq 10 0.2 0.8 1.6 1.265
统 计 电 子
(1)直接计算
p(
3)
C130 p q3 103
1098 0.23 3 2
0.87
0.2013
教 案
(2)用局部定理
武 汉 科
p( 3)
1 npq
0(k
np) npq
1 1.265
(k=0,1)
学 院 数
而 E(Xi)=P, D(Xi)=P(1-P) (i=1,2,...,n),根据定理5(独立同分