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中考数学常见题型几何动点问题

中考数学压轴题型研究(一)——动点几何问题例1:在△ABC 中,∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积;(2)现有动点P 从A 点出发,沿射线AB 向点B 方向运动,动点Q 从C 点出发,沿射线CB 也向点B 方向运动。

如果点P 的速度是4CM/秒,点Q 的速度是2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半(3)在第(2)问题前提下,P,Q 两点之间的距离是多少例2: ()已知正方形ABCD 的边长是1,E 为CD 边的中点, P 为正方形ABCD边上的一个动点,动点P 从A点出发,沿A →B →C →E 运动,到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ,△APE 的面积为函数y , (1)写出y 与x 的关系式(2)求当y =13时,x 的值等于多少例3:如图1 ,在直角梯形ABCD 中,∠B=90°,DC ∥AB ,动点P 从B 点出发,沿梯形的边由B →C → D → A 运动,设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示 ,那么△ABC 的面积为( )A .32B .18C .16D .10 例4:直线与坐标轴分别交于两点,动点同时从点出发,同时到达点,运动停止.点沿线段 运动,速度为每秒1个单位长度,点沿路线→→运动.(1)直接写出两点的坐标;(2)设点的运动时间为秒,的面积为,求出与之间的函数关系式;(3)当时,求出点的坐标,并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标.例5:已知:等边三角形ABC 的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动(运动开始时,点M 与点A 重合,点N 到达点B 时运动终止),过点M N 、分别作AB 边的垂线,与ABC △的其它边交于P Q 、两点,线段MN 运动的时间为t 秒.(1)线段MN 在运动的过程中,t 为何值时,四边形MNQP 恰为矩形并求出该矩形的面积;(2)线段MN 在运动的过程中,四边形MNQP 的面积为S ,运动的时间为t .求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围.例6:如图(3),在梯形中,厘米,厘米,的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动,动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动,两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止.设动点运动的时间为秒.(1)求边的长;图(3)BAC P Q BA MN(2)当为何值时,与相互平分;(3)连结设的面积为探求与的函数关系式,求为何值时,有最大值最大值是多少二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程。

例7:如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米,8BC =厘米,点D 为AB 的中点.(1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动,同时,点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1秒后,BPD △与CQP △是否全等,请说明理由;②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等,当点Q 的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP △全等(2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿ABC △三边运动,求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇例8:如图,在梯形ABCD中,3545AD BC AD DC AB B ====︒∥,,,.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t 秒. (1)求BC 的长.(2)当MN AB ∥时,求t 的值.(3)试探究:t 为何值时,MNC △为等腰三角形.例9:(如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90º,AB =12cm ,AD =8cm ,BC =22cm ,AB 为⊙O 的直径,动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动,动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动,P 、Q 分别从点A 、C 同时出发,当其中一点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t (s). (1)当t 为何值时,四边形PQCD 为平行四边形 (2)当t 为何值时,PQ 与⊙O 相切BBQ例10. 如图,在矩形ABCD 中,BC =20cm ,P ,Q ,M ,N 分别从A ,B ,C ,D 出发沿AD ,BC ,CB ,DA 方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ =x cm(0x ≠),则AP =2x cm ,CM =3x cm ,DN =x 2cm .(1)当x 为何值时,以PQ ,MN 为两边,以矩形的边(AD 或BC )的一部分为第三边构成一个三角形; (2)当x 为何值时,以P ,Q ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形;(3)以P ,Q ,M ,N 为顶点的四边形能否为等腰梯形如果能,求x 的值;如果不能,请说明理由.练习11.正方形ABCD 的边长为2cm ,在对称中心O 处有一钉子.动点P ,Q 同时从点A 出发,点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动,到点C 停止,点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动,到点D 停止.P ,Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结,设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y . (1)当01x ≤≤时,求y 与x 之间的函数关系式; (2)当橡皮筋刚好触及钉子时,求x 值;(3)当12x ≤≤时,求y 与x 之间的函数关系式,并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围;(4)当02x ≤≤时,请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象.[解] (1)当01x ≤≤时,2AP x =,AQ x =,212y AQ AP x ==g , 即2y x =.(2)当12ABCD ABPQ S S =正方形四边形时,橡皮筋刚好触及钉子, 22BP x =-,AQ x =,()211222222x x -+⨯=⨯,43x ∴=.(3)当413x ≤≤时,2AB =,22PB x =-,AQ x =,2223222AQ BP x x y AB x ++-∴==⨯=-g ,即32y x =-.ABDCPQ MN(第25题)321 O1 2 xy43B CPOD QA BP CODQAy321 O 12 x作OE AB ⊥,E 为垂足. 当423x ≤≤时,22BP x =-,AQ x =,1OE =, BEOP OEAQ y S S =+梯形梯形12211122x x +-+=⨯+⨯32x =,即32y x =.90180POQ oo≤∠≤或180270POQ oo≤∠≤ (4)如图所示:2.如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;(2)若S 梯形OBCD =3,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.[解] (1)直线AB 解析式为:y=33-x+3. (2)方法一:设点C坐标为(x ,33-x+3),那么OD =x ,CD =33-x+3. ∴OBCD S 梯形=()2CD CD OB ⨯+=3632+-x . 由题意:3632+-x =334,解得4,221==x x (舍去) ∴ C(2,33) 方法二:∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形=334,∴63=∆ACD S .由OA=3OB ,得∠BAO =30°,AD=3CD .∴ ACD S ∆=21CD ×AD =223CD =63.可得CD =33. ∴ AD=1,OD =2.∴C (2,33). (3)当∠OBP =Rt ∠时,如图①若△BOP ∽△OBA ,则∠BOP =∠BAO=30°,BP=3OB=3,∴1P (3,33). ②若△BPO ∽△OBA ,则∠BPO =∠BAO=30°,OP=33OB=1. ∴2P (1,3).当∠OPB =Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图),此时△PBO ∽△OBA ,∠BOP =∠BAO =30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M .方法一: 在Rt △PBO 中,BP =21OB =23,OP =3BP =23.∵ 在Rt △P MO 中,∠OPM =30°, ∴ OM =21OP =43;PM =3OM =433.∴3P (43,433).方法二:设P(x ,33-x+3),得OM =x ,PM =33-x+3 由∠BOP =∠BAO,得∠POM =∠ABO .∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-,tan ∠ABOC=OBOA =3.∴33-x+3=3x ,解得x =43.此时,3P (43,433).④若△POB ∽△OBA(如图),则∠OBP=∠BAO =30°,∠POM =30°. ∴ PM =33OM =43. ∴ 4P (43,43)(由对称性也可得到点4P 的坐标).当∠OPB =Rt ∠时,点P 在x轴上,不符合要求.综合得,符合条件的点有四个,分别是:1P (3,33),2P (1,3),3P (43,433),4P (43,43).3.如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC 是等腰梯形,BC∥OA,OA=7,AB=4,∠ COA=60°,点P 为x 轴上的—个动点,点P 不与点0、点A 重合.连结CP ,过点P 作PD 交AB 于点D . (1)求点B 的坐标;(2)当点P 运动什么位置时,△OCP 为等腰三角形,求这时点P 的坐标; (3)当点P 运动什么位置时,使得∠C PD=∠OAB,且AB BD =85,求这时点P 的坐标。

[解] (1)作BQ ⊥x 轴于Q.∵ 四边形ABCD 是等腰梯形, ∴∠BAQ =∠COA =60° 在Rt ΔBQA 中,BA=4,∴BQ=AB ·sin ∠BAO=4×sin60°=32 AQ=AB ·cos ∠BAO=4×cos60°=2, ∴OQ=OA-AQ=7-2=5 ∵点B 在第一象限内, ∴点B 的的坐标为(5, 32)(2)若ΔOCP 为等腰三角形,∵∠COP=60°,此时ΔOCP 为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP 为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P 在x 轴的正半轴上, ∴点P 的坐标为(4,0)若ΔOCP 是顶角为120°的等腰三角形,则点P 在x 轴的负半轴上,且OP=OC=4 ∴点P 的坐标为(-4,0) ∴点P 的坐标为(4,0)或(-4,0) (3)若∠CPD=∠OAB ∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP ∽ΔADP ∴APOC AD OP = ∵85=ABBD∴2585==AB BD ,AD=AB-BD=4-25=23 AP=OA-OP=7-OP ∴OP OP -=7423 得OP=1或6∴点P 坐标为(1,0)或(6,0).4. 已知:如图①,在Rt ΔABC 中,∠C=900,AC=4cm ,BC=3cm ,图①BA点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:(1)当t为何值时,PQ∥BC(2)设ΔAQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把RtΔABC 的周长和面积同时平分若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;(4)如图②,连接PC,并把ΔPQC 沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.解:(1)在Rt△ABC中,,由题意知:AP = 5-t,AQ = 2t,若PQ∥BC,则△APQ ∽△ABC,∴,∴,∴.(2)过点P作PH⊥AC于H.∵△APH ∽△ABC,∴,∴,∴,∴.(3)若PQ把△ABC周长平分,则AP+AQ=BP+BC+CQ.∴,解得:.若PQ把△ABC面积平分,则,即-+3t=3.∵t=1代入上面方程不成立,∴不存在这一时刻t,使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分.(4)过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N,若四边形PQP ′C是菱形,那么PQ=PC.∵PM⊥AC于M,∴QM=CM.∵PN⊥BC于N,易知△PBN∽△ABC.∴,∴,∴,∴,∴,解得:.∴当时,四边形PQP ′C 是菱形.此时,,在Rt△PMC中,,∴菱形PQP ′C边长为.B AN。

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