中考数学压轴题型研究(一）——动点几何问题例１：在△ABC 中，∠Ｂ=60°,B Ａ=２4CM,BC=16CM ， (1）求△A ＢC 的面积；(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发,沿射线CB 也向点Ｂ方向运动。

如果点P 的速度是４ＣＭ/秒,点Q 的速度是２CM ／秒，它们同时出发,几秒钟后,△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？(3)在第(2)问题前提下,Ｐ,Q 两点之间的距离是多少？例２： ()已知正方形A ＢCD 的边长是1，Ｅ为ＣD 边的中点, P 为正方形AB ＣD 边上的一个动点，动点Ｐ从Ａ点出发,沿A →B → Ｃ →Ｅ运动,到达点E.若点Ｐ经过的路程为自变量ｘ，△APE 的面积为函数ｙ, （1）写出y 与x 的关系式(2)求当y =13时，x 的值等于多少？例3：如图1 ，在直角梯形AB ＣＤ中,∠B ＝90°,DC ∥A Ｂ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△AB Ｐ的面积为y , 如果关于ｘ 的函数y 的图象如图2所示 ,那么△ＡＢC 的面积为（ ）A.32 B ．1８ Ｃ．1６ﻩ Ｄ．１0 例4:直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发,同时到达A 点，运动停止.点Q 沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．（1)直接写出A B 、两点的坐标;(2)设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；(3)当485S =时，求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标.例５:已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米,长为１厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动(运动开始时，点M 与点A 重合,点N 到达点B 时运动终止),过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点,线段MN 运动的时间为t 秒．(1）线段MN 在运动的过程中,t 为何值时,四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积;(2)线段MN 在运动的过程中,四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t .求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围.A C BxA OQP B yC Q例6:如图（3），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以２厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发,当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t 秒． (１）求边BC 的长；（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分;（3)连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时,y 有最大值?最大值是多少?二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质(或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

例7：如图,已知ABC △中,10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米／秒的速度由B 点向C 点运动,同时，点Q 在线段CA 上由C 点向Ａ点运动.①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过１秒后,BPD △与CQP △是否全等,请说明理由；②若点Q 的运动速度与点Ｐ的运动速度不相等，当点Ｑ的运动速度为多少时,能够使BPD △与CQP △全等？（2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发,点P 以原来的运动速度从点B 同时出发,都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点Ｐ与点Ｑ第一次在ABC △的哪条边上相遇?例8：如图，在梯形ABCD 中,3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． (1)求BC 的长.(2）当MN AB ∥时,求t 的值.(3)试探究:t 为何值时,MNC △为等腰三角形．例9:（如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥ＢC ，∠AB Ｃ=90º，ＡB =1２ｃm ，AD ＝8ｃm ，ＢＣ=2２cm,AB 为⊙O 的直径,动点P 从点Ａ开始沿AD 边向点Ｄ以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点Ｃ开始沿C Ｂ边向点B 以2c ｍ/s 的速度运动，P 、Q 分别从点A 、C 同时出发,当其中一点到达端图（3）BA B OC D P Q 点时,另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t (s ）. (1)当t 为何值时，四边形ＰQ ＣD 为平行四边形？ (2)当ｔ为何值时，PQ 与⊙O 相切？例10. 如图，在矩形ABCD 中，BC =2０c ｍ，P ,Q ,M ,N 分别从A,B ，Ｃ,D 出发沿AD ,B Ｃ,CB ,DA 方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止．已知在相同时间内,若BQ =x cm(0x ≠),则AP ＝2ｘcm ，C Ｍ=3x cm,ＤN =x 2c ｍ.(１）当x 为何值时，以P Ｑ,MN 为两边,以矩形的边(ＡD 或ＢC ）的一部分为第三边构成一个三角形; (2）当x 为何值时,以P ，Q ，Ｍ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ,Ｑ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x 的值；如果不能,请说明理由．练习１1.如图，正方形ABCD 的边长为2cm ,在对称中心O 处有一钉子．动点P ,Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动,到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动,到点D 停止.P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y . (1）当01x ≤≤时,求y 与x 之间的函数关系式; （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值;(3)当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4)当02x ≤≤时,请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．[解] (1)当01x ≤≤时,2AP x =,AQ x =,212y AQ AP x ==, 即2y x =． (2)当12ABCD ABPQ S S =正方形四边形时,橡皮筋刚好触及钉子， O A PDBQCA B D C P Q M N （第25题）B CPO D QA BP CODQAy32 122BP x =-,AQ x =,()211222222x x -+⨯=⨯，43x ∴=. (3)当413x ≤≤时，2AB =, 22PB x =-，AQ x =,2223222AQ BP x x y AB x ++-∴==⨯=-, 即32y x =-．作OE AB ⊥，E 为垂足．当423x ≤≤时，22BP x =-，AQ x =,1OE =， BEOP OEAQ y S S =+梯形梯形12211122x x +-+=⨯+⨯32x =，即32y x =．90180POQ ≤∠≤或180270POQ ≤∠≤ （4)如图所示：2.如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0)，B (0,3）两点, ，点C 为线段A Ｂ上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1）求直线AB 的解析式; (2）若S 梯形OBCD ＝433，求点C 的坐标; (３)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△O ＢA 相似．若存在，请求出所有符合条件 的点P 的坐标；若不存在,请说明理由.[解］ （1）直线ＡB 解析式为:y=33-x+3. (２）方法一:设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3),那么OD ＝ｘ，C Ｄ=33-x+3. ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+=3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２,33） 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形=334,∴63=∆ACD S ． 321 O1 2 xy43由OA=3OB,得∠BAO ＝30°，A Ｄ＝3C Ｄ.∴ ACD S ∆=21CD ×A Ｄ=223CD ＝63．可得CD ＝33.∴ AD=１,O Ｄ=２.∴C （２，33）. （３)当∠OBP ＝Ｒt ∠时，如图①若△B ＯP ∽△ＯＢA ，则∠ＢO Ｐ＝∠BAO ＝３0°，ＢP ＝3OB ＝3,∴1P (3，33）． ②若△BP Ｏ∽△O ＢA,则∠BPO=∠BAO=３0°,OP=33OB=１. ∴2P （1,3).当∠O ＰB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图),此时△PBO ∽△OBA ，∠B ＯP ＝∠B ＡO ＝3０° 过点P 作PM ⊥OA 于点M.方法一: 在Ｒt △ＰBO 中，BP ＝21ＯＢ=23，OP ＝3BP ＝23.∵ 在Rt △PMO 中，∠ＯPM=30°, ∴ O Ｍ＝21ＯＰ=43;ＰM=3OM ＝433.∴3P (43,433)．方法二：设Ｐ（x ,33-ｘ＋3)，得ＯＭ=x ,ＰM=33-x+3 由∠ＢOP ＝∠ＢAO,得∠POM ＝∠ABO.∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-,t ａn ∠A ＢOC=OBOA =3.∴33-x+3=3x,解得x ＝43.此时,3P （43,433)． ④若△P ＯＢ∽△OB Ａ(如图)，则∠OBP=∠B ＡＯ=30°，∠ＰOM=30°. ∴ PM=33ＯM=43. ∴ 4P （43,43）（由对称性也可得到点4P 的坐标）.当∠OP Ｂ=Rt ∠时,点P 在x 轴上，不符合要求. 综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P (3，33）,2P （1，3),3P （43，433)，4P （43，43)．3．如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC 是等腰梯形,BC∥OA,ＯＡ=７,ＡB=4,∠ COA＝60°，点Ｐ为x 轴上的—个动点,点P 不与点0、点A 重合．连结CP,过点P 作PD 交AB 于点Ｄ. （1)求点B 的坐标;(2)当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形,求这时点P 的坐标； (３)当点P 运动什么位置时，使得∠C ＰD=∠OAB，且AB BD =85，求这时点P 的坐标。