f ( )
2 f ( ) 。 b 第 Nhomakorabea2 页/共
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cos
4. 设
x ln 1 t 2 y arctan t
，求
d2y 。 dx 2
2
5. 设 y y ( x ) 由方程 e 6 xy x 1 0 所确定，求
y
y '' (0) 。
四、解答题（共 10 分）
设 f ( x ) ( x ) sin x ，其中 ( x ) 的一阶导数连续，且 (0) 0 ， (0) 0 ，试判断 f ( x ) 在
山东科技大学 2015—2016 学年第 一 学期
《高等数学》期中考试试卷
班级 题号 得分
一、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 1. 设 lim ( x x 1 ax b) 0, 则 a _________， b ________。
x 2
姓名 一 二 三 四 五 总得分
3.已知 f (3) 2 ，则 lim
( A) 无穷小 (C ) 有界但不为无穷小
2. ( x )
( B ) 无穷大 ( D) 无界但不为无穷大
）
1 x ， ( x ) 1 3 x ，则当 x 1 时有（ 1 x
（A） 是比 高阶的无穷小
（B） 是比 低阶的无穷小
（C） 与 同阶无穷小，但不等价 （D） ~ 3. sin x x
1 3 ) x R4 ( x) 其中 R4 ( x ) ( 6 cos 5 cos 5 （A） （B） x x 5! 5! sin 5 sin 5 （ C） （ D） x x （上述各式中 介于 0 与 x 之间） 5! 5!
'
x 0 处是否二阶可导。
五、证明题（每小题 10 分，共 20 分）
1.设函数 f ( x ) 在 ( , ) 内二阶可导,且 f ( x ) 1, lim
x 0
f ( x) 2, x
试证明： f ( x ) 2 x
1 2 x 2
。
2．设函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上有二阶导数, f (a ) f (b) ,试证：在 ( a, b) 内至少存在一点 ,使得
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三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）
e tan x e x 1. 求极限 lim 。 x 0 sin x x cos x （1 2. 求极限 lim
x
2 1 x ) 。 x x2
x 2 的连续性，若有间断点判断其类型，如是可去间断点补充定义使其连续。 3. 讨论 y 2 x( x 1)
学号 评卷人 审核人
2. 设 f ( x ) sin
x cos 2 x , f (27) ( ) ___________。 2
。
f (3 h) f (3) = h 0 2h 二、单项选择题（每小题 5 分，共 15 分） 1 1 1. 当 x 0 时，变量 2 sin 是（ ） x x