,
y x
1 x
x k1F1
z x
,
y x
所以， x u y u z u x y z
x
k
xk
1
F
z x
,
y x
zx
k
2
F1
z x
,
y x
yx k 2
F2
z x
,
y x
y
x k1F2
z x
,
y x
z
x
k
1 F1
z x
,
y x
kxk F z , y x x
/p-497333939417.html
五、综合题（本大题共 21 分）
1、（本题
10
分）已知直线 l1 ：
y b
z c
1， l2
：
x a
z c
1，求过 l1 且平行于 l2
的
x 0
y 0
平面方程．
2 、 （ 本 题 11 分 ） 设 函 数 f (x, y, z) ln x ln y 3ln z 在 球 面 x2 y2 z2 5R2 (x 0, y 0, z 0) 上求一点，使函数 f (x, y, z) 取到最大值．
x( 1 2
x
1)e2 x .
2、解： z uv2 t cosu v2 t sin u ， u u
z uv2 t cosu 2uv ， z cosu
v v
t
依复合函数求导法则，全导数为
dz z du z dv z dt dt u dt v dt t dt
v2 t sin u et 2uv 1 cosu 1 t
P1
且以
n
1
ca
，
1， bc
1 c2
为法向
量的平面 x y z 1 0 ， abc
就是过 l1 且平行于 l2 的平面方程．
2、解：设球面上点为 (x, y, z) ．
令 L(x, y, z, ) ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 ) ，
Lx
1 x
ln 2 t t sin et et 2 et ln t coset t
3、解：解方程组
f x x, y
f
y
x,
y
e2x 2x 2y2 4y
e2x 2 y 2 0
1
0 ，得驻点 1 ,1 2
。由于
A f xx x, y 4e2x x y 2 2 y 1 ，B f xy xy 4e2x y 1，C f yy x, y 2e2x
1.、 x 32 y 12 z 12 21
2、 1 ． 2
3、 2x 4y z 5 0 ．
4、0
5、 2 y 3x2 ；
二、选择填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分）
1（A） 2（B） 3（C） 4（C） 5（A）
三、计算题（本大题共 29 分）
1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得： dy (1 x)dx 1 y2
六、证明题（本题共 12 分） 1、设函数 u xk F z , y ，其中 k 是常数，函数 F 具有连续的一阶偏导数．试
x x
证明: x u y u z u kxk F z , y
x y z
x x
第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分）
大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分），请将合适的答案 填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为 2， 3， 5和 4， 1， 3 ，则该球面的方
程为______________________ 2、函数 u ln(x y2 z2 ) 在点 A(1,0,1) 处沿点 A 指向点 B(3, 2, 2) 方向的方向导 数为 3、曲面 z x2 y2 与平面 2x 4 y z 0 平行的切平面方程为
(A). x(a1x b1 ) cos x x(a2 x b2 ) sin x d1x2 ; (B). x(a1x b1) cos x x(a2 x b2 ) sin x d1x2 d2 x d3 ;
(C). x(a1x b1)(a2 cos x b2 sin x) d1x2 d2 x d3 ;
充分条件；
(D) 二元函数 z f x , y 的两个偏导数在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可微
的必要条件.
5、设 z f (2x y, x 2y), 且 f C（2 即函数具有连续的二阶连续偏导数），则 2 z xy
（）
(A) 2 f11 2 f 22 3 f12 ;
(B) 2 f11 f 22 3 f12 ;
u kxk1F z ,
x
x
y x
x
k
F1
z x
,
y x
z x2
x k F2
z x
,
y x
y x2
kxk1F z , x
y x
zx
k
2
F1
z x
,
y x
yx k 2
F2
z x
,
y x
u y
x k F2
z x
,
y x
1 x
x k1F2
z x
,
y x
u z
x k F1
z x
解方程组
Fx 2x y 0 Fy x 4 y 0 F x y 8 0
解得 7, x 5, y 3
这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产 5 台和 3 台时，总
成本最小，最小成本为： c(5, 3) 52 2 32 5 3 28 （万）
4、下列说法正确的是（ ）
(A) 两向量 a 与 b 平行的充要条件是存在唯一的实数 ，使得 b a ；
(B)
二元函数 z
f x
,
y的两个二阶偏导数
2z x 2
,
2z y 2
在区域
D
内连续，则在该区
域内两个二阶混合偏导必相等；
(C) 二元函数 z f x , y的两个偏导数在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可微的
五、综合题（本大题共 21 分）
1、解：直线 l1 与 l2 的方向向量分别为
s1
0，
1， b
1 c
1，
0，
0
0，
1， c
1 b
，
s2
1 a
，
0，
1 c
0，
1，
0
1c ，
0，
1 a
，
作
n
s1
s2
1
ca
，
1， bc
1 c2
，
取直线
l1
上的一点
P10，
0，
c ，则过点
(C) 2 f11 f 22 5 f12 ;
(D) 2 f11 2 f 22 f12 .
三、计算题（本大题共 29 分）
1、（本题 13 分）计算下列微分方程的通解。
(1)（6 分） y 1 x y 2 xy 2
(2)（7 分） y 3y 2y xe2x
2、（本题 8 分）设 z uv2 t cosu ， u et ， v ln t ，求全导数 dz 。 dt
3、（本题 8 分）求函数 f x, y e2x x y 2 2 y 的极值。
四、应用题（本题 8 分） 1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为 x 台和 y 台，成本函数为 c(x, y) x2 2 y 2 xy （万元），若市场调查分析，共需两种机床 8 台，求如何 安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？
在点 1 ,1 处，A 2e 0 ，B 0，C 2e，AC B2 4e2 ，所以函数在点 1 ,1
2
2
处取得极小值，极小值为 f 1 ,1 e 。 2 2
四、应用题（本题 8 分）
1、解：即求成本函数 cx, y 在条件 x y 8 下的最小值
构造辅助函数 Fx, y x2 2 y 2 xy (x y 8)
(D). x(a1x b1 )(cos x sin x) d1x 2 d 2 x d3
3、已知直线 L : x 2 y 1 z 与平面 : x 2 y z 4 ,则 （ ） 2 2 2
(A). L 在 内;
(B). L 与 不相交;
(C). L 与 正交;
(D). L 与 斜交.
上式两端积分得
1
dy y
2
arctan y (1 x)dx
x
x2 2
c
即 ： arctan y x x2 c 其中 c 为任意常数． 2
（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 3r 2 0, 特征根为 r1 1,
r2 2, 于是，该齐次方程的通解为 Y C1x C2e2x , 因 2 是特征方程的单
（A）． xOz 坐标面上的双曲线绕 Ox 轴旋转而成； （B）． xOy 坐标面上的双曲线绕 Oz 轴旋转而成； （C）． xOy 坐标面上的椭圆绕 Oz 轴旋转而成； （D）． xOz 坐标面上的椭圆绕 Ox 轴旋转而成． 2、微分方程 y y 2x cos x 3x2 的一个特解应具有形式（ ） 其中 a1, b1, a2 , b2 , d1, d 2 , d3 都是待定常数.
2 x
0,
Ly
1 y
2 y
0,
Lz
1 3z
2z
0,
L x2 y2 z2 5R2 0
由前三个式子得 x2 y2 z2 ，代入最后式子得 x y R, z 3R ．由题意得 3