A2
2）求 振动 的
相位差或
A1 A2
时间差；
A1
3）求两个同频率
A2
谐振动的 合振动。
A1
A2
质量为10kg的物体沿x轴作简谐振动，振幅A=10cm， 周期T=4.0s，t=0时位移 x0 =-5.0cm，且物体朝-x 向运动， 求：⑴t=1.0s时物体的位移和力；⑵t=0秒之后何时物体第 一次到达x=5.0cm处？⑶第二次和第一次经过x=5.0cm处的 时间间隔。
已知表达式 A、T、0 已知A、T、0 表达式
2. 曲线法
m
x A
o x0 = 0
o x -A
已知曲线
A、T、0
已知 A、T、0 曲线
0 = /2
Tt
3. 旋转矢量法
A
t=t
A
t+0
o
· 0 t = 0
x
x
x = A cos( t + 0)
利用旋转矢量可以：
1）确定振动的
A1
初相位；
角频率 (圆频率) 单位: rad / s
也称固有(圆)频率 固有频率决定于系统内在性质
弹簧振子: k
m
单摆 : g
l
3. 相位和初相
(1) ( t +0 )是 t 时刻的相位
物理意义:决定质点在 t 时刻的运动状态
x Acos( t 0 ) v A sin( t 0 )
(x, v)
0 x A vo
t 0
2
x 0 v A
3 x 0 v A
2
(2) 0 是t =0时刻的相位 —初相
物理意义:决定质点初始 时刻的运动状态 (x0,v0 )
x0 Acos0 v0 A sin0
0 x0 A v0 0
0
2
x0 0
v0 A
相位差 phase difference
12
t
2
3
)
m
2
t/s
t=0
0
0
-5
x(cm)
t=2
如图所示，将质量为M的沙盘挂在一个劲度系数为k 的弹簧下面，一质量为m的小球，从离盘高为h处自由下落 至盘中，并和盘一起开始运动，以此时刻作为计时起点， 并取竖直向下为y轴正方向，（以M+m的平衡位置为坐标 原点）。⑴试证明：该系统作简谐振动；⑵求该系统的圆 频率、振幅和初相位。
(
2 3
)
2 3
t2
0
2
1
3
t2 t1
2
3
4 s
3
2
一谐振子振动图象如图所示，求振动方程。
解： A 0.1m
由 t 0,
A x0 2 ,
v0 ＜ 0
0
2
3
t 2s 时 cos(2 2 ) 0
3
2 2 3
32
5
12
x/cm
o
-5 -10
x
Acos(
t
0 )
0.1cos( 5
/\/\/\/\/\
⑵求该系统的圆频率、振幅和初相位。
d2y
k
dt 2
mM
y0
k
o
o
2 k
k
m
h
M
mM
mM
y
t=0 时的初始条件为
Mg (m M )g mg
y0 k
k
k
小球与沙盘完全非弹性碰撞，动量守恒
m 2gh (m M )V0
解：根据已知可画出t=0时振幅矢量图
0
2
3
T 2
2
x
ห้องสมุดไป่ตู้
10.0cos(
t
2
)cm
23
⑴ x=1.0s 时位移和力
t=0
0
0
-5.0
x(cm)
x
10.0
cos(
1.0
2
)
8.66cm
2
3
F ma m 2 x m 2 Acos( t 0 )
10 ( )2 10cos( 1.0 2 ) 2.14103 N
A
x02
v
2 0
2
0
arctg(
v0
x0
)
三.简谐振动的速度、加速度
x(t) Acos( t 0 )
v
dx dt
Asin( t
0 )
A cos (
t
0
2
)
a
d2x d t2
2 Acos(
t
0)
2 Acos(
t
0
)
x、 、a
2A
a
A
A
x
o
-A
- A
T t
- 2A > 0 a<0 减速
解：⑴根据受力分析，在碰后物体和盘一 起向下运动位移为y时，由牛顿第二定律有
d2y (m M )g k( y y1 ) (m M ) dt 2 其中 y1 为系统平衡时弹簧的伸长量
/\/\/\/\/\
k
o
o
m
h
M
由力的平衡条件知 ky1 (m M)g
y
d2y
k
dt 2
mM
y0
该系统作简谐振动
<0 <0 加速
<0 >0 减速
>0 >0 加速
四. 描述简谐振动的特征量
1. 振幅 A 物体离开平衡位置的最大位移
2. 周期T 和频率 v
= 1/T (Hz)
x(t) Acos( t 0 ) Acos(t T ) 0
Acos t 0 T
T 2
1 2 2 秒内完全振动的次数 T 2
第十章 振动 (Vibration)
振动有各种不同的形式
机械振动 电磁振动
广义振动：任一物理量(如位移、电 流等)
振动分类
在某一数值附近反复变化。
受迫振动 自由振动 阻尼自由振动
无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动
无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
§10.1 简谐振动
一.简谐振动
物体运动时,如果离开 平衡位置的位移随时间的 变化规律遵从余弦函数关 系，则称该运动为简谐振 动。
=( 2 t+ 2)-(1 t+ 1) 对两个同频率的谐振动 = 2- 1
当 = 2k , ( k =0,1,2,…),
两振动步调相同,称同相
当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…),
两振动步调相反 , 称反相 。
x
x A1
A2
A1
x2 x1
同相
A2
T
o
x1
o - A2
t - A2
x2
k
Fm
0
x
X
二.简谐振动的特征极其表式
1. 受力特点: 线性恢复力 (F= -kx)
2. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
由
F
ma
m
d2x d t2
及
F kx 有
d d
2x t2
2
x
0
2 k
m
3.表达式 通解 : x(t) Acos( t 0 )
初态 t=0 时
x0 Acos0 v0 Asin0
2
2
3
⑵ t=0秒之后何时物体第一次到达x=5.0cm处？
画出矢量图,设第一次到达x 5.0cm 的时刻为t1 则
t1
0
2 3
t1
2
3
0
2
3
2
3
t1 / 2 2s
t=0 t2
t1
x(cm)
t1
⑶第二次和第一次经过x=5.0cm处的时间间隔
由矢量图可知
t1
0
2 3
(t2
t1 )
2
1
3
-A1
-A1
初相差
反相
T t
• 超前和落
后若 = 2- 1>0, 则 x2比x1较早达到正最大,
称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后)。
超前、落后以< 的相位角来判断
x
A1
A2
o
- A2
-A1
x1 x2
T
t
2 超前于1
五. 简谐振动的描述方法
1. 解析法 由 x=Acos( t+0 )