=0 可能为静电场。
4
例2 半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为
r 3 Ar 2 Er 5 (a Aa 4 ) / r 2
解：
ra ra
求电荷密度 (r) 。（书P20例1－9）
D
1 2 0 E 0 2 ( r Er ) r r

d
x
U0 C=0 B=U0/d+d/(20)
28
= - x2/20+ [U0/d+d/(20)] x
E= -▽ =(-d/dx)ex=[x/0-(U0/d+d/20)]ex
例2：长直同轴电缆尺寸如图。写出静电场边值问题。(书P26例1-12) 解：由于场分布的对称性，取整个场域的1/4计算。
0 (5r 2 4 Ar ) 0
ra ra
5
§1.3.2 分界面上的衔接条件 1、电位移D的边界条件：
D dS q
S
1 △S 1
D1 P
2 2
D2
证明：作一圆柱体， 设高△l0， 底面△S上D均匀
左 D dS
S
0 右=q= △S +(1+ 2) (△l△S) /2 结论： D2n – D1n =
1
2
E2t E2
D1 = 1 E1
D2 = 2 E2 E1n P
2
E2n

1 E1cos 1= 2 E2cos 2
E1sin 1= E2sin 2 结论： tg 1 /tg 2 = 1 / 2 E1
1
E1t
8
4、电位的边界条件：
设在分界面两侧各取两点A、B，间距为d 0 D2n – D1n = E1t = E2t
A. 空 气 中 的 电 场 强 度 为E0，介 质 中 的 电 场 强 度 为 E0/2 B. 空 气 中 的 电 场 强 度 为4E0/3，介 质 中 的 电 场 强 度 为2E0/3 C. 空 气 中 的 电 场 强 度 为 5E0/3， 介 质 中 的 电 场 强 度 为E0/3，
答：（B）
D1n S D2 n S D dS
圆柱面 S
0
△l
n为介质1的外法线方向
D2 cos 2 – D1 cos 1 =
为分界面上分布的自由电荷的面密度
6
2、电场强度E的边界条件：
E dl 0
l
1
2
E2t E2
证明：作一矩形为闭合回路，
20
举例说明边界条件和分界面上的衔接条件在 静电场分析计算中的应用。(书P66思考题1-25）
2 d 2 1 0 1 2 dx d 2 2 2 2 0 2 dx
1 C1 x C 2 2 C 3 x C 4
1
d1
定性 定量 解析法
积分法
分离变量法 镜像法、电轴法
微分方程法
边值问题 研究方法
计算法
保角变换法

有限差分法 有限元法
数值法 实测法
模拟法
边界元法 矩量法
实验法
模拟电荷法

25
§1.4.3 唯一性定理
一、唯一性定理内容： 在静电场中，凡满足①电位微分方程、②给定的 边界条件（包括不同介质的分界面衔接条件及其 场域的边界条件）的解υ是给定场的唯一解。
27
例1、平板空气电容器中分布有体密度为的电荷，尺寸如图， 两板间电压为U0 ，求电场分布。（书P26例1-13） 解：将其视为无限大平板的情况，则仅为x的函数。
d 2 2 dx 0
2
y
|(x=0) =0 |(x=d) = U0
解微分方程，得通解： = - x2/20+Bx+C 由二边界条件，得： C=0 U0=-d2/20+Bd+C 0
§1.4.2 静电场边值问题
1、一般的微分方程的定解问题： 微分方程 （泊松、拉普拉斯方程）
初始条件
边界条件
×（静电场不考虑）

2、静电场边值问题的类型：
22
边值问题
微分方程 边界条件
2 2 0

场域 边界条件
分界面 衔接条件
自然 边界条件
电荷分布在有限 1 2 区域，则无限远 1 2 1 2 处电位有限 n n 第一类 边界条件 如：已知导体 已知场域边界 电位 上各点电位值 第二类 边界条件 第三类 边界条件
A. 介 质 Ⅳ B. 介 质 Ⅰ
Ⅰ Ⅱ r 4 r 2 Ⅲ Ⅳ

r 4 r 2
d

C. 介 质 Ⅱ
d
2
d
2


答：（C ）
U0
U0
15
§1.4 静电场边值问题 唯一性定理
19
§1.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程
1、泊松方程、拉普拉斯方程的推导： D E 0
泊松方程 2
方程一定 静电场 边界一定

或拉普拉斯方程 2 0
不同介质的分界面衔接条件 场域的边界条件
解唯一
二、唯一性定理证明：略 三、唯一性定理意义：殊途同归
26
唯一性定理在静电场的分析计算中起什么作用？
试举例说明。(书P66思考题1-27)
（1）采用任何一种方法求解静电场问题，只要解 满足唯一性定理的条件，这个解就是我们要求的 静电场的解。如镜像法和电轴法就是以唯一性定 理为依据的。 （2）检验解的正确性。
0
E1 D1
2 E2 D2
d2
1 x 0 U 0 2 x ( d1 d 2 ) 0 1 x d1 2 x d1 d d 2 1 1 2 dx dx x d1
U0
x d1
要确定泊松方程或拉普拉 斯方程通解的待定系数， 必须利用场域的边界条件 21 和分界面上的衔接条件。
1
2
-q
E1
E2 图b
D1
D2
12
1、长 直 同 轴 圆 柱 电 容 器 ，内 外 导 体 单 位 长 度 带 电 荷 量 分 别 为+τ与+τ内 外 导 体 之 间 充 满 两 种 电 介 质， 内 层 为ε1外 层 为 ε2 ,分 界 面 是 以 ρ为 半 径 的 柱 面， 如 图 所 示。 则 两 种 介 质 分 界 面 上 的 电 场 强 度 E和 电 通 密 度（ 电 位 移） D的 关 系 为：
A.
E1 E 2 E1 E 2
E1 E 2
D1 D2 D1 D2
D1 D2
答：（ ）
R2

R1
B. C.
1
2
13
2、板 间 介 质 为 空 气， 板 间 距 离 为d的 平 行 板 电 容 器 ， 两 板 分 别 与 恒 定 电 压 源的两 极 相 连 ， 设 此 时 电 容 器 极 板 间 电 场 强 度 为 E0， 现 将 该 电 容 器 的 一 半 空 间 填 以εr＝2的 电 介 质， 且 保 持 介 质 分 界 面 与 极 板 平 面 平 行， 忽 略 端 部 的 边 缘 效 应， 此 时 电 容 器 极 板 间 的 电 场 强 度 为：
U0 图a +q0 S1 S2
1
E1 D1
-q0
2
E2
D2
11
图b
解b： (1)E1= E2 D1 D2
1 2
1 S1 2 S2 q0 1 1 2 2
q0 1 E 1 1 S1 2 S2
+q S1 S2
左 E dl l 0 E1t l1 E2t l1 E dl
l 2
设边△l20，边△l1上E均匀
E1n P
E1t E1
△ l1
E2n
右=0 结论： E1t = E2t
△ l2
场强的切向分量连续，与面电荷无关
7
3、折射定理：
设两种电介质1 、2均为线性、各向同性，分界面上无自由电荷 D2n – D1n = =0 E1t = E2t
基本方程的解
§1.3 静电场的基本方程，分界面衔接条件 §1.3.1 静电场的基本方程
§1.3.2 分界面上的衔接条件
2
§1.3.1 静电场的基本方程 一、基本方程： 积 E dl 0
分 形 式
二、静电场的性质：
1. 环路特性：场强的环路线 积分为0(保守场) 2. 高斯定理：电位移的闭合面积 分为面内包含的总自由电荷；
解：
ex A x Ax
ey y Ay
e x e y ez ez x y z z 3 x 4 y 5z Az
5z 4 y 3 x 5z 4 y 3 x ( )e x ( )e y ( )e z y z z x x y
SD dS q D E
l
微 分 形 式
E 0
D D Ε
3. 旋度：静电场为无旋场； 4. 散度：静电场为有源场，电
位移的源为自由电荷；
3
例1：已知 A 3 xe x 4 ye y 5ze，问：是否可能为静电场？ z
1
2
2 1 2 1 n n 0 B 1 2 E dl End 0
A
1
A B
2
结论：
1 2 1 2 n n
2 = 1
d
9
5、导体(1)与电介质(2)的分界面：