E1sin 1= E2sin 2
结论：
tg 1 /tg 2 = 1 / 2
1 2
E2t
E2
E1n
P
1
E1t
E1
2
E2n
8
4、电位的边界条件：
设在分界面两侧各取两点A、B，间距为d 0
D2n – D1n =
E1t = E2t
2
2
n
B
1
1
n
0
1 2 A E • dl End 0
1 2
1A B 2
ez
x y z x y z
Ax Ay Az 3 x 4 y 5z
5z 4y 3x 5z 4y 3x
( y
z
)ex (
z
x )ey ( x
y
)ez
=0
可能为静电场。
4
例2 半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为
r 3 Ar 2
Er
(a
5
Aa4 ) / r 2
ra ra
求电荷密度 (r) 。（书P20例1－9）
d 21
dx 2
d 22
dx 2
0 0
21
C1 x C3 x
C2 C4
1E1
2
E2
D1
D2
d1
d2
0
1 12
1
x0 U0
0
x(d1 d2 )
xd1
2 xd1
d1
dx
xd1
2
d 2
dx
xd1
U0
要确定泊松方程或拉普拉 斯方程通解的待定系数， 必须利用场域的边界条件 和分界面上的衔接条件。21
（1）采用任何一种方法求解静电场问题，只要解 满足唯一性定理的条件，这个解就是我们要求的 静电场的解。如镜像法和电轴法就是以唯一性定 理为依据的。 （2）检验解的正确性。
27
例1、平板空气电容器中分布有体密度为的电荷，尺寸如图，
两板间电压为U0 ，求电场分布。（书P26例1-13）
解：将其视为无限大平板的情况，则仅为x的函数。
28
例2：长直同轴电缆尺寸如图。写出静电场边值问题。(书P26例1-12)
解：由于场分布的对称性，取整个场域的1/4计算。
2
2
x 2
2
y 2
0
y
|(x=b,0<y<b) = |(y=b,0<x<b)=U0
0 ( x2 y2 a2 , x0, y0)
Ex = 0 Ey = 0
0 x ( x0,b ya )
(
)
n S
f3(s)
23
边值问题 研究方法
作图法 计算法
定性 定量
解析法
实验法
数值法 实测法 模拟法
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
••••
有限差分法 有限元法
边界元法 矩量法 模拟电荷法
••••
25
§1.4.3 唯一性定理
一、唯一性定理内容：
在静电场中，凡满足①电位微分方程、②给定的
答：（B）
14
3、 两 个 板 间 距 相 同 的 平 行 板 电 容 器， 如 图 所 示。 内 部 充 满 两 种 介 质， 介 电 常 数 如 图 中 所 标， 若 介 质 的 击 穿 场 强 都 一 样 时， 且 两 个 电 容 上 的U0都 以 同 一 比 例 逐 渐 增 大， 则 首 先 被击穿的介质是
2. 高斯定理：电位移的闭合面积 分为面内包含的总自由电荷；
微 E 0
分 形 式
•D
D Ε
3. 旋度：静电场为无旋场；
4. 散度：静电场为有源场，电 位移的源为自由电荷；
3
例1：已知
A 3xex 4 yey
5ze，z 问：是否可能为静电场？
解：
ex
A
ey
ez
ex
ey
解：
• D
0 •
E
0
1 r2
r
(r 2Er )
0
(5r
2
4
Ar)
ra
0
ra
5
§1.3.2 分界面上的衔接条件
1、电位移D的边界条件：
SD • dS q
证明：作一圆柱体，
设高△l0， 底面△S上D均匀
左 SD • dS
0
D1nS D2nS
D • dS
圆 柱 面S 0
右=q= △S +(1+ 2) (△l△S) /2
A. 介 质 Ⅳ B. 介 质 Ⅰ C. 介 质 Ⅱ
答：（C ）
ⅠⅡ
r 4 r 2 dd
22
U0
Ⅲ r 4 Ⅳ r 2
d
U0
15
§1.4 静电场边值问题
唯一性定理
19
§1.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程
1、泊松方程、拉普拉斯方程的推导：
E 0
• D
D E
0 （均匀电介质）
E = -
应用
1
§1.3 静电场的基本方程，分界面衔接条件 §1.3.1 静电场的基本方程 §1.3.2 分界面上的衔接条件
2
§1.3.1 静电场的基本方程
一、基本方程：
积 E • dl 0
分 l
形 D • dS q
式 S
D E
二、静电场的性质：
1. 环路特性：场强的环路线 积分为0(保守场)
1
2
△S
P
1
D1
△l
D2
2
结论： D2n – D1n =
n为介质1的外法线方向
为分界面上分布的自由电荷的面密度
D2 cos 2 – D1 cos 1 =
6
2、电场强度E的边界条件：
l E • dl 0
证明：作一矩形为闭合回路，
设边△l20，边△l1上E均匀
左 l E • dl
0
E1tl1 E2tl1
边界条件（包括不同介质的分界面衔接条件及其 场域的边界条件）的解φ是给定场的唯一解。
静电场
方程一定
泊松方程2
或拉普拉斯方程 2 0
边界一定 不同介质的分界面衔接条件 场域的边界条件
解唯一
二、唯一性定理证明：略
三、唯一性定理意义：殊途同归
26
唯一性定理在静电场的分析计算中起什么作用？ 试举例说明。(书P66思考题1-27)
第一章 静电场
§1.1 电场强度，电位
实验基础与理论基础
§1.2 高斯定律 §1.3 静电场的基本方程，
分界面上的衔接条件
§1.4 静电场边值问题，唯一性定理 §1.5 分离变量法 §1.6 有限差分法 §1.7 镜像法和电轴法
静电场的 基本方程
基本方程的解
§1.8 电容和部分电容 §1.9 静电能量与力
例1、两平行板电容器，两区域的场强E 、电位移D是 否相等？分别求其中的电场强度。（书P22例1-11）
解a： E1 E2 D1 = D2
E11Ed11
2 E2
E2d2
U0
E1
E2
2U0
1d2 2d1 1U 0
1d2 2d1
1 2
E1 E2
d1D1
dD22
0
U0 图a
+q0
1
1 n
2
2 n
区域，则无限远 处电位有限
第三类
lim r 有限值
r
边界条件
已如知：场已域知边导界体 上电各位点电位值
|S = f1(s)
已如知：场已域知边导界体上表各面 点电电荷位密的度法向导数
n S f2(s)
如一：、已二知类一边些界带条电件体的电线位性和组另外 合一，些即带电体的电荷面密度
E • dl
l2
右=0
结论： E1t = E2t
1 2
E2t
E2
E1n P
E1t E1
E2n
△l1
△l2
场强的切向分量连续，与面电荷无关
7
3、折射定理：
设两种电介质1 、2均为线性、各向同性，分界面上无自由电荷
D2n – D1n = =0
E1t = E2t
D1 = 1 E1 D2 = 2 E2 1 E1cos 1= 2 E2cos 2
A. E1 E2 D1 D2
R2
B. E1 E2
C. E1 E2
D1 D2 D1 D2
答：（ ）
R1
1 2
13
2、板 间 介 质 为 空 气， 板 间 距 离 为d的 平 行 板 电 容 器 ， 两 板 分 别 与 恒 定 电 压 源的两 极 相 连 ，
设 此 时 电 容 器 极 板 间 电 场 强 度 为 E0， 现 将 该 电 容 器 的 一 半 空 间 填 以εr＝2的 电 介 质， 且 保 持 介 质 分 界 面 与 极 板 平 面 平 行， 忽 略 端 部
• (E) • E E •
• ( )
▽ 2 = - / 泊松方程
若=0 ▽ 2 = 0 拉普拉斯方程
▽2:拉普拉斯算子。
在直角坐标系下：
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
20
举例说明边界条件和分界面上的衔接条件在 静电场分析计算中的应用。(书P66思考题1-25）
21
2 2
0 y
( y0,b xa)
a
0b
U0
x
29
作业
P24 1-3-1 P30 1-4-3 P67 1－5，1－6
35
2
d 2