理论力学11章作业题解
11-3 已知均质圆盘的质量为m ，半径为R ，在图示位置时对O 1点的动量矩分别为多大？图中O 1C=l 。
解 (a) 2
1l m l mv L c O w == ，逆时针转动。
(b) w w 2
210||1mR J L v m r L c c c O =+=+´=r
r ，逆时针转动。
(c ) )2(2
2
212
2
212
1l R m ml mR ml J J c O +=+=+=
w w )2(2
22111l R m J L O O +==，逆时针转动。
(d)
w
w mR R l mv R l R v mR l mv J l mv L v m r L c c c c c c c O )5.0()5.0(/||2
2
11-=-=-=-=+´= r r
，顺时针转动
解毕。
v c
v c
v c
11-5 均质杆AB 长l 、重为G 1，B 端刚连一重G 2的小球，弹簧系数为k ，使杆在水平位置保持平衡。
设给小球B 一微小初位移0d 后无初速度释放，试求AB 杆的运动规律。
解 以平衡位置（水平）为0=j ，顺时针转为正。
平衡时弹簧受力为：
)5.0(312G G F s +=
弹簧初始变形量：
k G G k F s st /)5.0(3/12+==d
在j 角时弹簧的拉力为（小位移）：
3/)5.0(3)3/(12l k G G l k F st s j j d ++=+=¢
系统对A 点的动量矩：
j j j
&&&2
21233l g
G G l l g G J L A A +=×+= 对点的动量矩定理)(/å=E
i A A F M dt dL r ：
j j 9
3/5.0332
21221kl l F lG lG l g G G s -=¢-+=+&& 0)3(321=++j j
G G gk &&，令)
3(3212G G gk
p +=则有02=+j j
p &&，其解为： )cos()sin(pt B pt A +=j
由初始条件0| ,/|000====t t l j
d j &得l B A / ,00d ==。
故运动方程为： )cos(0
pt l
d j =
解毕。
G 1
G 2
F Ax F Ay
F s
11-10 一半径为r 、重为W 1的均质水平圆形转台，可绕通过中心Ｏ并垂直于台面的铅直轴转动。
重W 2的物块A ，按规律s =at /2 沿台的边缘运动。
开始时，圆台是静止的。
求物块运动以后，圆台在任一瞬时的角速度与角加速度。
解 （1）运动分析
物块A的相对速度: at dt ds v r ==/ （2）受力分析 （3）建立动力学方程
0)(==\=åconst L F M z i z Q
0)(2=-+=r m v r J L r z w w r
W W at
W )2(2212+=
w 求导得角加速度：
r
W W a
W )2(2212+=
a
解毕。
W 1
W 2
F x
F y
F z
m x m y
z
v r
11-17 均质圆柱体A 和B 的重量均为W ，半径均为r 。
一绳绕于可绕固定轴O 转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B 上。
求B 下落时质心的加速度。
摩擦不计。
解 (1) 运动分析
系统有2个独立的坐标参数，设两轮的角速度为ωA 和ωB 。
则有合成运动可得：r r v B A C w w +=
上式恒成立可求导得：r r a B A C a a += (2) 受力分析 (3) 建立动力学方程 对轮A:
r F J A O 1=a
对轮B:
1
1F mg ma r F J C B C -==a
3个方程求解3个未知量：1,,F B A a a
得：g a 54
=，
解毕。
C
v C
A
w
B
w
C mg
mg
F 1F R
11-19 半径为r 的均值圆轮在半径为R 的圆弧面上作纯滚动。
初瞬时0j j =（微小），00=j
&。
试求圆轮的运动方程。
解 圆轮由于受约束只有1个自由度，取广义坐标j 描述圆轮的运动。
（1）运动分析
r r R r R a r r R r R v t
C C /)( ),(/)( ),(-=-=-=-=j a j
j w j
&&&&&&
（2）受力分析，作示力图
（3）用刚体平运动微分方程建立圆轮的动力学方程
îíì-=--=-Fr r r R mr mg F r R m /)(sin )(2
2
1j j j
&&&& 解得：0sin )
(32=-+j j
r R g
&&
由于j 微小，故有j j »sin ，方程可简化为（另)
(322r R g
k -=
）
02=+j j
k && 其解为：)cos()sin(kt B kt A +=j 由初始条件得：0 ,0j ==B A 故运动方程为：) )
(32cos()cos(00t r R g
kt -==j j j
解毕。
W
F
F N
v C
w
11-23 长l 、质量为m 的均质杆AB 与BC 在B 点刚连成直角后置于光滑的水平面上。
试求在A 端作用一与AB 垂直的水平力F 后A 点的加速度。
解：首先求质心E 的加速度（E 在BD 的中点，D 在AC 的中点）。
根据质心运动定理可以判断初始质心在y 向无加速度。
设E 点的x 向加速度为a E ，杆的角加速为a 。
由质心运动定理得 îí
ì´==l F J F
ma E E 4
3
2a 式中2
1252
812
121
)(2ml l m ml J E =´+=，由方程可以解得
)2/(m F a E =，)5/(9ml F =a
基点法求A 点加速度
n
EA t EA E A a a a a ++=r
其中0=n
EA a EA a
t EA
´=a
m
F
l ml F m F a a a t EA
E Ax
203743592cos =´+=´+=q
m
F
l ml F a a t
EA Ay 209459sin -=´-
=´-=q
解毕。
11-25 两根质量m 、长度l 的均质杆构成的系统如图示(初始处于静止状态)。
如在B 端作用一个已知力F ，试求此时两根杆的角加速度。
解 (1) 运动分析
系统有2个独立的运动参数。
设OA 、AB 杆的角加速度为α1，α2。
OA 杆质心加速度（只有切向分量）：
2/1l a t D
a =
AB 杆质心加速度用基点法计算（只有水平分量）：
2/21l l a
a a t CA t A t C a a +=+=
(2) 受力分析 (3) 建立动力学方程 对OA 杆：l F J Ax O =1a
对AB 杆：mg
F m F F ma l F Fl J Ay Ax
t
C
Ax C -=×-=+=02
/2/2a
4个方程求解4个未知量：Ay Ax F F ,,,21a a 得：ml F 761=a ，ml
F
7302=a 。
解毕。
O
O B
C。