加试模拟训练题（54）（附详细答案）
1．AD，BE，CF是△ABC的三条中线，P是任意一点.证明：在△P AD，△PBE，△PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.
2. 若0≤a，b，c≤1，证明：
A
A'
F
F'
G E
E'
D'
C'
P
C B
D
3. 在黑板上写下从1到1988的所有自然数．对这些数依次反复施行运算A 和B ：先是A 后是B ，接着再是A ，然后再是B ，如此继续下去．运算A 是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算A ，减数可以不相同)．运算B 是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数．运算A 和B 如此顺次施行，直至某次运算B 后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？
4.设a ，b ，c 是正整数，且 )()1(),1(22b a c c c c ab +++- 证明：a ，b 中有一个数等
于c ，另一个数等于12+-c c 。

加试模拟训练题（54）
1．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△P AD ，△PBE ，
△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB
，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′，
D ′，
E ′，
F ′.
易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，
∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .
两边各扩大3倍，有S △PBE =S △P AD +S △PCF .
2. 若0≤a ，b ，c ≤1，证明：
【题说】第九届（1980年）美国数学奥林匹克题5．结论可以推广到n 个数的情形． 【证】令
因为 （1－b ）（1－c ）（1+b+c ）≤（1－b ）（1－c ）（1+b ）（1+c ） =（1－b 2）（1－c 2）≤1（当a 、b 、c 轮换时均成立）因此δ≥0．
3. 在黑板上写下从1到1988的所有自然数．对这些数依次反复施行运算A 和B ：先是A 后是B ，接着再是A ，然后再是B ，如此继续下去．运算A 是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算A ，减数可以不相同)．运算B 是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数．运算A 和B 如此顺次施行，直至某次运算B 后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？
【题说】第十四届(1988年)全俄数学奥林匹克十年级题3．
【解】施行运算A 和B 各一次后，黑板上的数就少了一个．所以运算A 和B 各施行1987次后，黑板上就留下一个数．
设施行第k 次运算A 时，减数为自然数d k ，k ＝1，2，…，1987．经第k 次的运算A 后，写在黑板上的数的和少了(1989－k)d k ；而经运算B 后，这个和数是不变的．所以运算A 和B 各施行1987次后，黑板上写的数是
A A 'F F 'G E
E '
D '
C '
P
C
B D
x ＝(1＋2＋…＋1988)－1988d 1－1987d 2－…－2d 1987 ＝1988(1－d 1)＋1987(1－d 2)＋…＋ (1989－k)(1－d k )＋…＋2(1－d 1987)＋1
显然(1989－k)(1－d k )≤0，并且若对某个k ，有d k ≥2，则 (1989－k)(d k －1)≥2
故 x ≤(1989－k)(1－d k )＋1≤－1
与题设矛盾．因此，对一切k ＝1，2，…，1987，d k ＝1．所以x ＝1，即黑板上最后留下的数是1．
4.设a ，b ，c 是正整数，且 )()1(),1(22b a c c c c ab +++- 证明：a ，b 中有一个数等
于c ，另一个数等于12+-c c 。

证明：∵b a c ++12
∴设+∈+=+N k c k b a ),1(2
则b c k a -+=)1(2
∴[
]
)1()1(22
+--+c c c b
c k b
∴[
]
)()1(22
b b k k
c kc c b
c k b -++--+ ∴)()1(2b kc c b c k +--+
∵)1(2
+-c c c ab ∴若a ,b 均大于c 。

则1)1(2
2+=+-+<+c c c c b a 与b a c ++12
矛盾。

∴不妨设b ≤c. ∴0)(≤+-b kc c 等号成立当且仅当1=k 且c b = 若等号不成立，则[
]
b c k b kc c -+-≤+-)1()(2
∴b k kc bc kc +--≤+-22 ∴k b bc -≤ 矛盾。

∴一定有.0)(=+-b kc c 从而1=k 且c b = ∴1)1(2
2
+-=-+=c c b c k a ∴命题成立。