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文科立体几何体积专题
1、如图 5 所示，在三棱锥P ABC 中，AB BC 6 ，平面PAC 平面 ABC ，PD AC 于点 D ， AD 1 ，
CD 3 ， PD 2 ．
（ 1）求三棱锥P ABC 的体积；（2）证明△ PBC 为直角三角形．P
A
D C
B
2、如图， E 为矩形 ABCD所在平面外一点，AD平面ABE，图5
AE=EB=BC=2， F 为 CE是的点，且BF平面ACE，AC BD G
（1 ）求证：AE平面BCE；（2）求三棱锥C— BGF的体积。
3、如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD AC DE 2 AB =1，且
E
F 是 CD 的中点．AF 3 B
（Ⅰ）求证： AF ∥平面 BCE ；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE； A
(III)求此多面体的体积．
C D
F
(18 题图 )
4、在如图 4 所示的几何体中，平行四边形ABCD
的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，
AD CD DP a
，
AP CP 2a ，DP // AM，且 AM 1
DP ， E, F 分别为 BP, CP 的中点. 2
(I)证明：EF //平面ADP ;
(II)求三棱锥M ABP 的体积.
5、在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1 D1中,E是线段 A1C1的中点, 底面 ABCD的中心是 F.
(1)求证 : CE BD；(2) 求证 : CE∥平面A1BD；
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6、矩形 ABCD 中， 2AB AD ，E 是 AD 中点，沿 BE 将 ABE 折起到 A ' BE
的位置，使 '
'
D ， F 、 G 分别是 B
E 、 CD 中点 .
AC A （ 1）求证： A F ⊥ CD ；
（ 2）设 AB
2
，求四棱锥 A BCDE 的体积 .
7 、 如 图 ， 在 四 棱 锥
P ABCD 中 ， 底 面 是 边 长 为
2 的 正 方 形 ， 侧 面 PAD 底面 ABCD ， 且
A B C D
P A P D
2
A ，D 若 E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点 .
2
（ 1）求证： EF ∥平面 PAD ；
（ 2）求证：平面 PDC 平面 PAD .
（ 3）求四棱锥 P ABCD 的体积 V P ABCD .
8、如图 , 在直三棱柱
ABC A 1B 1C 1 中， AC 3 ， BC 4， AB 5 , AA 1 4 ，点 D 是 AB 的中点，
（ 1）求证： AC BC 1 ；
（ 2）求证： AC 1 // 平面 CDB 1 ；
（ 3）求三棱锥 C 1 CDB 1 的体积。
9、如图 1，在正三角形 A BC 中，AB=3，E 、F 、P 分别是 AB 、AC 、BC 边上的点，AE=CF=CP=1。
将
AFE 沿 EF 折起到 A 1 EF 的位置，使平面 A 1EF 与平面 BCFE 垂直，连结
A 1
B 、 A 1P
（ 1）求证： PF//平面 A 1EB ； （ 2）求证：平面 BCFE 平面 A 1EB ； （ 3）求四棱锥 A 1— BPFE 的体积。
10、如图所示的长方体
ABCD A 1B 1C 1 D 1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， O 为 AC 与 BD 的交点， BB 1
2 ，
M 是线段 B 1 D 1 的中点．
(1) 求证： BM / / 平面 D 1 AC ；
(2) 求三棱锥 D 1 AB 1C 的体积．
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11、已知四棱锥P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PD 平面 ABCD ，
PD 6, E, F 分别为 PB, AB 中点。
(1) 证明： BC 平面 PDC ;
(2) 求三棱锥 P DEF 的体积。
12、如图 6，在四面体PABC中， PA=PB， CA=CB， D、 E、F、 G分别是 PA，AC、 CB、 BP的中点．
(1)求证： D、E、 F、 G四点共面；
(2)求证： PC⊥ AB；
(3) 若△ ABC和 PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，PC 2 ，求四面体PABC的体
积．
13、如图所示，圆柱的高为2，底面半径为7 ,AE、DF是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC . （ 1）求证：BC // EF；（ 2）若四边形 ABCD是正方形，求证BC BE ；
（ 3）在（ 2）的条件下，求四棱锥A BCE 的体积.
14、如图，平行四边形ABCD中，CD 1，BCD 60 ，且BD CD ，正
方形 ADEF 和平面 ABCD 垂直，G, H是DF , BE的中点．
（ 1）求证：BD 平面 CDE ；
（2）求证：GH //平面CDE；
（3）求三棱锥D CEF的体积．
4. 已知在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD，E, F , G 分别是 PD , PC, BC 的中点．
（ I ）求平面EFG平面PAD；
（ II ）若M是线段CD上一点，求三棱锥M EFG 的体积．
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1 在边长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱A1B1，A1D1，A1A上的点，且满足A1M 1
A1 B1，
3
A1 A （如图1），试求三棱锥 A1 MNP 的体积．2
A1N 2ND1 ， A1 P
4
如图 2 ，在三棱柱ABC A1 B1C1中，E，F分别为AB，AC的中点，平面 EB1C1F 将三棱柱分成两部分，求这两部分
的体积之比．
如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角ABC 所在平面互相垂直， F 为 BC 的中点，BAC ACD 90 ，
AE ∥CD， DC AC 2AE 2. [
（Ⅰ）求证：平面BCD平面ABC;来源
（Ⅱ）求证：AF ∥平面 BDE ；
（Ⅲ）求四面体 B CDE 的体积.
2．如图所示，四棱锥P-ABCD,底面 ABCD是边长为2 的正方形， PA⊥面ABCD， PA=2,过点 A 作 AE⊥PB,AF⊥PC,连接EF．（1）求证： PC⊥面 AEF；
（2）若面 AEF交侧棱 PD于点 G（图中未标出点 G） , 求多面体 P— AEFG的体积。
3. 如图，在三棱锥P ABC 中，PA平面ABC，AC BC ， D 为侧棱 PC 上一点，它的正（主）视图和侧（左）视
图如图所示．
（ 1）证明：AD 平面 PBC ；（ 2）求三棱锥 D ABC 的体积；
（ 3）在ACB 的平分线上确定一点Q ，使得 PQ ∥平面ABD，并求此时 PQ 的长．
P
D
2 2 2
4
2 2。