全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何
1．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P -ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝
π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12
. (1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．
图1-4
2．[·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分
别是A 1C 1，BC 的中点．
(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E -ABC 的体积．
3．[·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.
(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积．
4．[·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P-ABD的体积V＝
3
4
，求A到平面PBC的距离．
5．[·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图1-3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M-CDE的体积．
图1-2 图1-3
6．[·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D-BCG的体积．
7．[·全国新课标卷Ⅰ19] 如图1-4，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．
8．[·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π
3，M为BC上一点，且BM＝
1
2
.
(1)证明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO的体积．
图1-4
9、如图5所示，在三棱锥
ABC P 中，6AB BC ，平面PAC
平面
ABC ，AC PD
于点D ，1AD ，
3CD ，2PD
．
（1）求三棱锥
ABC P
的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形．
图5
B
P
A
C
D
10、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，
AD 平面ABE ，AE=EB=BC=2，
F 为CE 是的点，且BF
平面ACE ，
G
BD
AC （1）求证：
AE
平面BCE ；（2）求三棱锥C —BGF 的体积。
11、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB =1，且F 是CD 的中点．3
AF
（Ⅰ）求证：
AF ∥平面BCE ；
（Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面
CDE ；
(III) 求此多面体的体积．
A
B
C
D
E
F
12、在如图4所示的几何体中，平行四边形
ABCD 的顶点都在以
AC 为直径的圆
O 上，AD CD DP a ，
2AP CP a ，//DP AM ，且1
2
AM
DP ，,E F 分别为,BP CP 的中点. (I)证明：
//EF 平面ADP ; (II)求三棱锥M
ABP 的体积.
13、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D 中,E 是线段11AC 的中点,底面ABCD 的中心是 F.
(1)求证:CE
BD ；(2)求证:CE ∥平面1A BD ；(3)求三棱锥1D
A BC 的体积.
14、矩形
ABCD 中，AD AB
2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE 折起
到
'A BE 的位置，使'
'
AC
A D ，F G 、分别是BE CD 、中点.
（1）求证：F A ⊥CD ；（2）设
2AB
，求四棱锥BCDE A
的体积.
15、如图，在四棱锥
P ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ABCD 底面，且
22
PA PD
AD ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.
（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC 平面PAD .
（3）求四棱锥
P ABCD 的体积P
ABCD
V .
16、如图, 在直三棱柱111ABC
A B C 中，3AC
，4BC ，
5AB ,14AA ，点D 是AB 的中点，
（1）求证：1AC
BC ；（2）求证：11CDB //平面AC ；
C CDB的体积。
（3）求三棱锥11
17、如图1，在正三角形ABC中，AB=3，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，AE=CF=CP=1。
将AFE沿EF折起到
A EF的位置，使平面1A EF与平面BCFE垂直，连结A1B、
1
A1P（如图2）。
（1）求证：PF//平面A1EB；
（2）求证：平面BCFE平面A1EB；
（3）求四棱锥A1—BPFE的体积。
18、如图所示的长方体
1111D C B A ABCD
中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，21
BB ，
M 是线段11D B 的中点．
(1)求证：
//BM 平面1D AC ；
(2)求三棱锥1
1D AB C 的体积．
191、已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD 平面，6,,PD E F 分别为,PB AB
中点。
(1)证明：BC PDC 平面;
(2)求三棱锥
P DEF 的体积。
20、如图6，在四面体PABC 中，PA=PB ，CA=CB ，D 、E 、F 、G 分别是PA ，AC 、CB 、BP 的中点．
(1)求证：D、E、F、G四点共面；(2)求证：PC⊥AB；
PC，求四面体PABC的体积．
(3)若△ABC和PAB都是等腰直角三角形，且AB=2，2
21、如图所示，圆柱的高为2，底面半径为7,AE、DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC.
BC EF；（2）若四边形ABCD是正方形，求证BC BE；
（1）求证：//
（3）在（2）的条件下，求四棱锥A BCE的体积.
22、如图，平行四边形ABCD 中，1CD ，
60BCD ，且CD BD ，正方形ADEF 和平面ABCD 垂直，H G,是BE DF ,的中点．
（1）求证：CDE BD 平面；（2）求证：
//GH 平面CDE ；（3）求三棱锥CEF D 的体积．。