（2）根据已知条件，即可求解.
【详解】
（1）设长方体的长，宽，高分别为 ，如图.
可令 解得
，
，∴该长方体的体对角线长为 .
（2） .
【点睛】
本题考查长方体面的面积与边长的关系，明确长方体的对角线与长、宽、高的关系，属于基础题.
7．（1） ；（2） .
【分析】
（1）设 、 分别为上、下底面的中心，过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，则 为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积；
（2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.
【详解】
（1）如图，设 、 分别为上、下底面的中心，过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，则 为正四棱台的斜高，
由题意知 ， ，
又 ，
∴斜高 ，
∴ ；
（2）由题意知， ，∴ ，
∴ ，又 ， .
8．（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）先由面面垂直的性质得 平面 ，即得 ，再结合 即可证明；
2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） ．
【分析】
（1）利用 得出 平面 .（2）通过证明 平面 ，可证得平面 平面 .（3）利用等体积转化 求出即可.
【详解】
（1）证明：因为在正方体 中， ， 平面 ， 平面 ， 平面
（2）证明：在正方体 中，
, 是 中点，
.
平面 ， 平面 ，则 .
平面 ， 平面 ，且 ，
4．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）利用勾股定理，可得 ，结合 ，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果.
（2）计算 ， ，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.
【详解】
（1）∵三棱柱 是直三棱柱，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
（3）求三棱锥 的体积．
3．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.
4．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是 的中点.
（1）求证： ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积.
5．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ， ， ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
【详解】
（1）由题意知：底面ABCD是菱形，且
∴ ，又在△ 中 ， ，即 ，
∴ ，又面PAB 面 ，面PAB 面 ， 面PAB，
∴ 面 ，而 面 ，有： ， ，
∴ 平面 ；
（2）由（1）知： 面 ，有 ，
而 ，且 ，
∴
【点睛】
本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
9．如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱，
（1）求圆锥的表面积和体积.
（2）求圆柱的表面积.
10．已知一个球的外切圆台的上、下底面半径分别为 、 ，求出该球的表面积.
11．已知 是圆锥的顶点, 是圆锥底面的直径, 是底面圆周上一点, , , 与底面所成角的大小为 ,过点 作截面 , ,截去部分后的几何体如图所示．
平面 .
平面 ，
∴平面 平面
（3）因为 平面 ，所以点 ，点 到平面 的距离相等.
故 ．
【点睛】
本题考查了证明线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，注意判定定理中的条件，利用等体积转化求三棱锥的体积是常用的方法，属于基础题.
3．160
【分析】
由于该直四棱柱的底面是菱形，所以求其中一个侧面的面积乘以4即可，由菱形其对角线垂直于勾股定理求得底面边长，再由矩形面积公式求得答案.
（2）求四棱锥 的体积.
6．若长方体的三个面的面积分别是 ，求：
（1）长方体的体对角线的长；
（2）长方体的表面积.
7．正四棱台两底面边长分别为 和 .
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为 ，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
8．如图，四边形 是边长为 的正方形，平面 平面 ， ， .
（1）求原来圆锥的侧面积;
（2）求该几何体的体积.
12．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，且 ， .
(1)证明： ；
(2)若 ，且四棱锥 的体积为 ，求 的面积.
参考答案
1．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由菱形的性质有 ，勾股定理知 ，结合面面垂直的推论可得 ，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由 面 即可计算 ，结合已知条件可求三棱锥 的体积；
，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ .
（2）∵ 是 中点，
∴ ，
∵ 平面 ， ，
∴ .
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题.
5．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据等腰三角形证明 ，得到答案.
【详解】
如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝ ＝ ＝ ＝64，∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
【点睛】
本题考查求直四棱柱的侧面积，属于基础题.
专题5：立体几何体积与面积的求法基础练习题
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， ，侧面PAB 底面 ， ，
（1）求证： 平面
（2）过AC的平面交PD于点M，若 ，求三棱锥 的体积．
2．如图所示，在棱长为2的正方体 中，M是线段AB上的动点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若M是AB的中点，证明：平面 平面 ；
（2）利用等体积法可求出.
【详解】
（1）证明： ，平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面因为四边形 是正方形，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2） .
9．（1） ； ；（2） .
【分析】
（1）求出圆锥的高可得体积，由表面积公式计算出表面积；
（2）计算得到 ， ，再利用体积公式计算得到答案.
【详解】
（1） ， 为 的中点，故 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，故 平面 .
（2） ， ，故 ， .
故 .
【点睛】
本题考查了线面垂直，四棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
6．（1） .（2）
【分析】
（1）设长方体的长，宽，高分别为 ，根据已知条件列出方程，求出 ，即可求出对角线；