平顶山新乡许昌2014届高三第一次调研考试
文科数学参考答案
一.选择题
1——5 CAABC 6——10 DACAB 11-----12 AD
二.填空题
13. 55 14. 3 15. -2 16. 15
三.解答题：
17.解:
1)sin 21(32sin )(2+-+=x x x f
++=x x 2cos 32sin 1)3
2sin(21++=πx ．………………………………………5分 ( I ) 函数)(x f 的最小正周期ππ==2
2T ．…………………………………… 6分 ( II ) 因为]6,6[ππ-∈x ，所以]3
2,0[32ππ∈+x ，所以∈+)32sin(πx ]1,0[， ………………………………………10分 所以]3,1[1)32sin(2)(∈++=π
x x f ，所以)(x f 的值域为[1，3]．
………………………………………12分
18.
解：（Ⅰ）
…………………………………6分
（Ⅱ）获一等奖的概率为0.04，所以获一等奖的人数估计为604.0150=⨯（人）. 记这6人为E D C B A A ,,,,,21，其中21,A A 为该班获一等奖的同学. …………………7分 从全校所有一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加决赛共有15种情况如下：
()21,A A ，()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2，
()C B ,，()D B ,，()E B ,，()D C ,，()E C ,，()E D ,. ……………………………9分
该班同学参加决赛的人数恰好为1人共有8种情况如下:
()B A ,1，()C A ,1，()D A ,1，()E A ,1，()B A ,2，()C A ,2，()D A ,2，()E A ,2. 所以该班同学参加决赛的人数恰好为1人的概率为158=
P .……………………………12分 19.
（Ⅰ）证：连接DE ，交AF 于点O
∵1D D ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ,∴1D D AF ⊥……………………………2分 ∵点E ，F 分别是BC ，1D C 的中点，∴DF CE =
又∵AD DC =，90ADF DCE ∠=∠=
∴ADF ∆≌DCE ∆，∴AFD DEC ∠=∠
又∵90CDE DEC ∠+∠=,∴90CDE AFD ∠+∠=
∴()18090DOF CDE AFD ∠=-∠+∠=，即AF DE ⊥ ………………………………………5分
又∵1D D DE D =,∴AF ⊥平面1D DE ,
又∵1ED ⊂平面1D DE ,∴1AF ED ⊥
………………………………………6分 （Ⅱ）解：∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -的高，且1D D a = ∵点E ，F 分别是BC ，1D C 的中点，∴2
a DF CF CE BE ====
……………7分 ∴AEF ADF FCE ABE ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形 2111222a AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅2222
234848a a a a a =---=
………………………………………10分
∴11E AFD D AEF V V --=113AEF S D D ∆=⋅⋅2313388
a a a =⋅⋅= ………………………………………12分
20.
解：（Ⅰ）()()()2
()=3+3131f x x a x a x x a '--3=-+． 令()0f x '=得121,x x a ==- ………………………………………1分
（i ）当1a -=，即1a =-时，()2
()=310f x x '-≥，()f x 在(),-∞+∞单调递增 D 1 D C B
A 1 A E
F O
………………………………………3分
（ii ）当1a -<，即1a >-时，
当x a <-，或1x >时()0f x '>，()f x 在(),a -∞-、()1+∞,内单调递增
当1a x -<<时()0f x '<，()f x 在(),1a -内单调递减. …………………………4分
（iii ）当1a ->，即1a <-时，
当1,x x a <>-或时()0f x '>，()f x 在()(),1a -∞-+∞和,内单调递增
当1x a <<-时()0f x '<，()f x 在()1,a -内单调递减
综上，当1a <-时，()f x 在()(),1a -∞-+∞和,内单调递增，()f x 在()1,a -内单调递减；当1a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调递增；当1a >-时，()f x 在()(),1a -∞-+∞和,内单调递增，()f x 在(),1a -内单调递减．
…………………………6分
（Ⅱ）当3a =时，32()391,[,2]f x x x x x m =+-+∈
2()3693(3)(1)f x x x x x '=+-=+-，令()0f x '=得121,3x x ==-……………7分 将x ，()f x '，()f x 变化情况列表如下：
………………………10分
由此表可得 ()(3)28f x f =-=极大，()(1)4f x f ==-极小
又(2)328f =< ，故区间[,2]m 内必须含有3-，即m 的取值范围是
3]-∞-（，． ………………………12分 21.
(Ⅰ) 设圆C 和圆D 关于直线20x y +-=对称,由题意知圆D 的直径为12FF ,所以圆
心()0,0D ，半径2r c ==，圆心D 与圆心C 关于直线02=-+y x 对称(2,2)C ∴，故圆C 的方程为22(2)(2)4x y -+-=. …… …………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知2F (2,0), 设直线l 方程为:2,x my m R =+∈，∴圆心C 到直线l 的距离22m 1|2m |m 1|
2-22m |=d +=++，由垂径定理和勾股定理得：222
224m 4b =4(4-)=1+m 1+m . ………………………………6分
设直线与椭圆相交与点1122(,),(,),E x y F x y 由2
2152,x x y my m R ⎧⎪⎨+==+∈⎪⎩
得： 22(5410,m y my ++-=） 由韦达定理可得：12122241,,55m y y y y m m --+=
=++ 依题意可知：
2215
m a m +==+ 5
158m 14515222222++⋅=+⋅++⋅=∴m m m m ab . (10)
分
令()0()f x x y f x =≥⇒=在[0,3] 单调递增，在[3,)+∞单调递减，()(3)f x f ≤ ⇒当23m
=时，ab 取得最大值，此时直线的方程是 2.x =+
所以当ab 取得最大值时，直线的方程是 2.x =+
…………………………12分
22.
（Ⅰ）证明：∵AB 切圆于B ，
∴2AB AD AE =⋅，
又∵AB AC =，∴2AC AD AE =⋅，
∴△ACD ∽△AEC ，∴ACD AEC ∠=∠，
又∵AEC DGF ∠=∠，∴ACD DGF ∠=∠
∴AC //FG
………………………………………5分
（Ⅱ）证明：连接BD ，BE ，EG
由AB AC =，BAD CAD ∠=∠及AD AD =，
知△ABD ≅△ACD ，同理有△ABE ≅△ACE ，∴BDE CDE
∠=∠，故BE EG =，
又BE CE = ∴EC EG = ………………………………………10分 23.
解:(Ⅰ)圆C 的普通方程是22
(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==;
所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ………………………………………4分 (Ⅱ)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩. ………………………………………6分
设22(,)ρθ为点Q
的极坐标，则有2222(sin )3ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
， 解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ ………………………………………8分
由于12θθ=，所以122PQ ρρ=
-=，所以线段PQ 的长为2.………………10分 24.
解:(Ⅰ
)23(1111x x y x x x
+=+-==+++ 3x >
,0y ∴<
,y ∴<
----------------------------(5分)。