第七届 北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题 一、（10分）已知函数()f x 在0x =的某个临域内有连续导数，且20sin ()lim()2x x f x x x
→+=，试求(0)f 及(0)f '
二、（10分）已知函数(,)z z x y =满足222z z x y z x y
∂∂+=∂∂， 设1111u x v y x z x ϕ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩
对函数(,)u v ϕϕ=，求证0u ϕ∂=∂
三、（10分）计算D dxdy xy ⎰⎰，其中222224:24x x y D y x y ⎧≤≤⎪+⎪⎨⎪≤≤⎪+⎩
四、（10分）计算曲面积分3
2222()S xdydz ydzdx zdxdy I x y z +++=++⎰⎰，其中S +是
22
(2)(1)1(0)72516
z x y z ---=+≥的上侧。

五、（10分）设函数对于任意x 的及a 满足1()()(0)2x a x a
f t dt f x a a +-=≠⎰，证明()f x 是线性函数。

六、（10分）求微分方程2(ln )0x x y xy y '''-+=的通解。

七、（10分）设函数()f x 在实轴R 上可微，且满足(0)0,|()||f f x p f x '=≤，其中01p <<，证明：()0()f x x R ≡∈
八、（10分）判断级数1sin (3n n π∞
=∑的收敛性。

九、（10分）设()f x 在区间[,]a b 上是非负的连续函数，且严格单调增加，由积分中值定理知，对于任意的正整数n ，存在唯一的
(,)n x a b ∈，使1[()][()]b n n n a f x f x dx b a
=⎰-，试求极限lim n n x →∞，并证明你的结论。

十、（10分）已知12111,1,(2,3,)n n n a a a a a n +-===+= ，试求级数1n n n a x ∞=∑的收敛半径与和函数。