《数学分析》练习题1一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、广义积分dx x ⎰-202211的奇点的是 【 】A ．0B ．2C ．2D ．2±2、下列关于定积分的说法正确的是 【 】 A ．函数)(x f 在[]b a ,有界，则)(x f 在[]b a ,一定可积；B ．函数)(x f 在[]b a ,可积，则)(x f 在[]b a ,一定有界；C ．函数)(x f 在[]b a ,不可积，则)(x f 在[]b a ,一定无界；D ．函数)(x f 在[]b a ,无界，则)(x f 在[]b a ,可能可积。
3、函数()x f 在闭区间[]b a ,可积是函数()x f 在闭区间[]b a ,连续的__ __条件。
【 】 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．即不充分，又非必要4、若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列级数中，为收敛级数的是 【 】A ．()∑∞=-11n n nu B ．()∑∞=-11n n nu C ．∑∞=+11n n n u u D ．∑∞=++112n n n u u 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）请在每小题的横线上给出正确的答案.1、(){}x f n 在X 一致收敛的定义是： .2、函数2x e -在0=x 处的幂级数展开式为, .3、积分()10120<<⎰p dx x p= . 4、已知⎰=20sin x dt t y ，则dxdy= 。
三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）请在每小题后的空白处写出必要的解答过程和正确答案。
1、求⎰=12dx e x I x 。
解:2、求⎰=edx x I 1ln .解:3、求由抛物线x y 22=和直线4=+y x 所围成图形的面积。
解:4、判别级数∑∞=-11n n nx ()0>x 的收敛性。
解:5、求级数∑∞=13n nn nx 的收敛半径与收敛域。
解: 6、求dx ex⎰+∞1。
解：四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）请在每小题后的空白处写出必要的证明过程。
1、证明：积分⎰+∞02cos dx x 收敛。
证：2、设()x f 在R 上连续，()()()dt t x t f x F x20-=⎰。
证明：(1)若()x f 为偶函数，则()x F 也是偶函数；（2）若()x f 为单调函数，则()x F 也是单调函数。
证：3、若{}n na 收敛， ()∑∞=--11n n n a a n 收敛，证明级数∑∞=1n n a 收敛。
证：《数学分析》练习题2一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、广义积分dx x⎰-1211的奇点的是 【 】A ．0B ．1C ．-1D ．1±2、由曲线x e y =和直线1,1==y x 所围成的平面图形的面积为 【 】A.dx e x ⎰-10)1( ；B. dx e x ⎰-10)1( C. dx e x ⎰10； D. dx e x ⎰+1)1(3、函数()x f 在闭区间[]b a ,连续是函数()x f 在闭区间[]b a ,可积的__ __条件。
【 】 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充分必要 D ．即不充分，又非必要4、若级数∑∞=1n n u 绝对收敛，则下列级数中，发散的是 【 】A ．∑∞=1n nn u B ．∑∞=+11n n u n C ．∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1211n n nu n D ．∑∞=+11n n n u u 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）请在每小题的横线上给出正确的答案.1、(){}x f n 在X 一致有界的定义是： .2、幂级数∑∞=1!n nn x 的收敛域为 .3、⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→2222221lim n x n x n x nn = . 4、已知()⎰=20x dt t f y ，则dxdy= 。
三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）请在每小题后的空白处写出必要的解答过程和正确答案。
1、求⎰=1arctan xdx I 。
解:2、求⎰++=311dx xxdx I .解:3、求旋轮线()()()π20cos 1,sin ≤≤-=-=t t a y t t a x 和x 轴所围成图形的面积。
解:4、判别级数∑∞=-11n n nx ()0>x 的收敛性。
解:5、求级数()12112+∞=-∑n n n x 的收敛半径与收敛域。
解:6、求反常积分dx xe I x ⎰+∞-=02。
.解：四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）请在每小题后的空白处写出必要的证明过程。
1、证明：积分⎰+∞1cos dx xx收敛，而不绝对收敛。
证：2、证明：若()x f 和()x g 在闭区间[]b a ,可积，则()()()()⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ba ba b a dx x g dx x fdx x g x f 222。
证：3、设函数项级数()x f n ∑在D 上一致收敛于()x S ，函数()x g 在D 上有界，证明级数()()x f x g n∑在D 上一致收敛于 ()()x S x g 。
证：《数学分析》练习题3一、单项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列等式中，正确的结果是 【 】 A.)()('x f dx x f =⎰ ； B. )()(x f x df =⎰ ； C.)()(x f dx x f dx d=⎰D. )()(x f dx x f d =⎰ 2. 下列关于定积分的说法正确的是 【 】 A ．函数)(x f 在[]b a ,有界，则)(x f 在[]b a ,一定连续；B ．函数)(x f 在[]b a ,可积，则)(x f 在[]b a ,一定有界；C ．函数)(x f 在[]b a ,不可积，则)(x f 在[]b a ,一定无界；D ．函数)(x f 在[]b a ,可积，则)(x f 在[]b a ,可微。
3. 幂级数∑nx n n3的收敛域是 【 】A.()2,4-B.[]2,4-C. ()3,3-D. [)3,3- 4.若级数∑++21nn a a 收敛，级数()∑+-+11n n a a 发散，则级数 【 】 A.∑na绝对收敛； B.∑na发散；C.()nna∑-1收敛 D.na∑条件收敛二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）请在每小题的横线上给出正确的答案. 1. 设()x f 有连续导数，()()3,3-==a f b f ，则()=⎰dx x f ba'________________。
2．()=+⎰dt t x dx d x a2tan sin ln 。
3 . 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为, .4. ()20011lim x dte t xtxx ⎰-→= 。
三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）请在每小题后的空白处写出必要的解答过程和正确答案。
1．判别级数nn 4sin 3π∑的敛散性。
解:2. ⎰21ln e xdx 。
解: 3. 讨论积分()⎰-bapx b dx的收敛性。
解:4.求由曲线32--=x x y 和直线x y =所围成图形的面积 解:5. 求由曲线x y e y x -==1,和直线1=x 围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。
解:6. 求幂级数() ++-+++-+121531253n x x x x n n 的和函数。
解:四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，，共24分）请在每小题的空白处正确解答。
1.设()x f 在[],a a -上连续，证明：()x f 是奇函数的充要条件是()[]a a x dt t f xx ,,0-∈∀=⎰-。
证:2．证明：若()x f 在闭区间[]b a ,连续，()0≥x f ，若()⎰=ba dx x f 0，则()0≡x f 。
证：3. 若0,0>>n n b a ，n n n n b b a a 11++≤ ∑∞=1n n b 收敛，证明级数∑∞=1n n a 收敛。
证：。