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天一大联考高中毕业班阶段性测试(四)
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ＝{x|(x －1)(x －4)≥0}，N ＝{x|y ＝ln(2－x)}，则M ∩N ＝
A.(1，2)
B.[1，2]
C.(－∞，1]
D.(2，4]
2.复数z 满足
1212i i z
+=-，则z 的共轭复数z ＝ A.－3＋4i B.－3－4i C.3455i -+ D.3455i -- 3.已知两个平面α，β，直线l ⊂α，则“l //β”是“α//β”的
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件 4.42)1(x x
+-展开式中的常数项为 A.－11 B.11 C.70 D.－70 5.已知正实数a ，b ，c 满足(
12)a ＝log 3a ，(14)b ＝log 3b ，c ＝log 32，则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b
6.已知向量a ，b 的夹角为135°，|a|＝
，|b|＝3，且a ＋λb 与a －b 垂直，则λ＝ A.1415 B.56 C.23 D.16
7.设不等式组21022020x y x y x y +-≥-+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩
，表示的平面区域为D ，命题p ：点(2，1)在区域D 内，命题q ：点(1，1)在
区域D 内。
则下列命题中，真命题是
A.(⌝p)∨q
B.p ∨(⌝q)
C.(⌝p)∧(⌝q)
D.p ∧q
8.函数f(x)＝333x x
x --+的图象大致是
9.已知F 1，F 2为双曲线E ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点。
若MF 1恰好被y 轴平分，且∠MF 1F 2＝30°，则E 的渐近线方程为
A.2y x =
B.2y x =±
C.3y x =
D.2y x =± 10.设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝(1＋a n )2(n ∈N *)，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝
A.24
B.48
C.64
D.72
11.已知斜率为k(k>0)的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2相切，若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则|AB|＝ 2 3 C.8 D.12
12.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x)<2f(x)，则不等式e 4f(－x)>e
－8x f(3x ＋2)的解集是 A.(－12，＋∞) B.(－∞，12) C.(－12，1) D.(－1，12
) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校高三年级一次模拟考试的数学测试成绩满足正态分布X ～N(100，σ2)，若已知P(70<X ≤100)＝0.47，则从该校高三年级任选一名学生，其数学测试成绩大于130分的概率为 。
14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝1，S n ＋2S n －2＝3S n －1(n ≥3)，则a 5＝ 。
15.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<
2
π)的部分图象如图所示，下列说法中正确的有 。
(写出所有正确说法的序号)
①f(x)的图象关于点(－6π，0)对称； ②f(x)的图象关于直线x ＝－512π对称； ③f(x)的图象可由y ＝3sin2x －cos2x 的图象向左平移
2π个单位长度得到； ④方程f(x)＋3＝0在[－2
π，0]上有两个不相等的实数根。
16.已知正三棱锥P －ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积最大时，底面边长AB ＝ 。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分
17.(12分)
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c ＝43，sin2C ＋23sin 2C ＝23，C 为锐角。
(I)若a ＝4，求角B ；
(II)若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积。
18.(12分)
某班级有60名学生，学号分别为1～60，其中男生35人，女生25人为了了解学生的体质情况，甲，乙两人对全班最近一次体育测试的成绩分别进行了随机抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样，他们得到的各12人的样本数据如下所示，并规定体育成绩大于或等于80分为优秀。
甲抽取的样本数据：
乙抽取的样本数据：
(I)在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；(II)请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关；
(III)判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据(II)的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由。
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n＝a＋b＋c＋d。
19.(12分)
已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，BC＝2AA1＝23，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1E＝4EF。
(I)证明：AF⊥平面A1BC；
(II)求二面角C－A1E－B1的余弦值。
20.(12分)
已知椭圆E：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的四个顶点依次连接可得到一个边长为33
(I)求椭圆E的方程；。
(II)设直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝
2
2
3
b
相切，且交椭圆E于两点M，N，当|MN|取得最大值时，求
m2＋k2的值。
21.(12分)
已知函数f(x)＝(1－x2)e x。
(I)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴交于点(x0，0)，求曲线在该点处的切线方程；
(II)设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1－x2|<2－m(1＋1
2e
)。
(二)选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为21142
x t y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩(t 为参数)。
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－3
π)＝2。
(I)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
(II)若直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求△OMN 的面积。
23.[选修4－5；不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x －a|＋|x －1|，g(x)＝4－|x ＋1|。
(I)当a ＝2时，求不等式f(x)≥3的解集；
(II)若关于x 的不等式f(x)≤g(x)的解集包含[0，1]，求a 的取值范围。