图5-4
图3-1
专题3 搞定空间几何体的外接球与内切球
一、基本方法：
（1）定心：确定球心，构造直角三角形利用正余弦定理及勾股定理求解（2
22d r R +=）；该方法是解决外接球问题的主要的通法，但对空间想象能力、作图能力要求较高；所以熟悉以下的几种模型才能准确快速的解决外接球问题。

（2）补形：补成长方体，利用长方体对角线求解（2
2224c b a R ++=）；有些几何体比较难确定球心，而几何体刚好是长方体的一部分，其外接球与长方体的外接球是同一个球，故可利用长方体模型求解。

另外有些不规则的几何体还可以选择建系，设球心，利用球心到各顶点的距离相等求出球心坐标求解。

但该方法计算量大，高考一般不会考查。

高考中以模型一、二、三、四为主。

类型一：锥体模型（P 的射影是ABC ∆的外心即侧棱长相等）
第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线； 第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1； 第三步：勾股定理：2
12
12
O O A O OA +=⇒2
2
2
)(r R h R +-=，解出R 类型二：柱体模型（直棱柱、圆柱）
第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ；
第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 2
1211
1==； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒2
22)2
(r h R +=
⇒22)2
(h
r R +=，解出R
第一步：将ABC ∆画在小圆面上，D 为小圆上任意的一点，；
第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半
径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
r C c
B b A a 2sin sin sin ===），PA OO d 2
11==； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：2
2
2
d r R +=. 类型四：长方体模型
图6
1.三条棱两两垂直，可补形为长方体
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2
222)2(c b a R ++=，求出R 2.三棱锥（即四面体）中，三组对棱分别相等，亦可补形为长方体 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，
y CD AB ==，z BD AC ==，
第三步：由2
22
222
22z y x c b a R ++=
++=，求出R .
类型五：二面角模型（两个三角形拼在一起，一般为两等腰三角形或直角三角形） 1.当两等腰三角形由公共底边折叠时，
第一步：先画出如图所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出∆BD A '∆的外心1H 和2H ；
第二步：过1H 和2H 分别作其所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,；
第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，再由勾股定理：2
2121OC CH OH =+，求出球的半径R 。

2. 当两直角三角形由公共斜边折叠时，其公共斜边就是外接球的直径。

类型六：内切球问题 1．正棱锥的内切球.
第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；
第二步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PD
PO
DH OE =
，解出r 2．任意多面体的内切球：等体积法，
第一步：先求出多面体的表面积和体积； 第二步：解出表
S V
r 3=
图8-1
A
图2-1。