关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记摘要本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。
针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。
关键词实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式Several Notes for “Inequalities on the Determinant of Matrix”Abstract In this paper, several determinantal inequalities on real matrix are proved. As applications, some inequalities on determinants of positively definite matrices are established in complex number field. For the real matrix, five propositions are given to explain its determinantal inequalities, and some time, extensions and further states are made for some propositions. For the complex positively definite matrix, three propositions are given, in the process of the proof of the three propositions, the Schur theorem and Holder inequality are used.Key words real matrix; complex positively definite matrix; determinant; inequality目录1 引言与记号....................................................................... .. (1)2 实矩阵的若干行列式不等式及证明 (1)3 复数域中矩阵的若干行列式不等式 (5)4 结论（结束语） (9)5 参考文献 (9)6 致谢 (10)一 引言与记号复（实）矩阵是数学理论中的一个重要知识点，无论是对其应用上还是在进修考察中，都具有重要地位。
而矩阵的行列式、矩阵的行列式不等式是矩阵理论的基础知识。
基于此文中给出了实矩阵的若干行列式不等式，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。
关于文中的符号，矩阵M 的转置记为'M ；方阵M 的共轭转置记为'M ；方阵M 的行列式记为M 或M det ，其模记为M det ；()M t j 表示矩阵M 的特征值。
二 实矩阵的若干行列式不等式及证明命题1 对于实数域上的n n ⨯阶矩阵P 、Q ，若他们是正定矩阵，则Q P Q P +≥+.为了方便证明命题1，我们先证明命题（*）：在实数域上，对于n n ⨯阶矩阵M 、N ，若M 是正定矩阵，N 是对称矩阵，则存在可逆矩阵T ，满足()T N M T +'是对角阵。
证明 由M 的正定性知，M 与单位矩阵E 合同，则有MA A E '= （1） 成立，这里A 是实可逆矩阵。
又由于N 是对称矩阵，则NA A '是对称阵。
从而存在正交矩阵B ，满足()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=''n t t t B NA A B 21 （2） 这里i t 是NA A '的特征值，n i ,,2,1 =. 下令AB T =，则有()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=+'n t t t T N M T 11121 （3） 证毕。
下面证明命题1：证明 根据（3）式可知，在实数域上存在可逆矩阵T ，满足()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++=+'n t t t T Q P T 11121 ， 这里i t 是Q P +的特征值，且0>i t ，n i ,,2,1 =.则()()()n t t t T Q P +++=+111212由命题（*）的（1）式知 12=A P 由命题（*）的（2）式知 n t t t A Q 212= 又因为AB T =,B 是正交矩阵，所以1±=B ,且2222A B A T==由Q 的正定性知，QA A '正定；又因为0>i t ，那么()()()n t t t A Q P +++=+111212n t t t 211+≥ （4） 而 []n t t t A Q P 2121+=+ （5） 结合（4）（5）两式，得Q P Q P +≥+例1 在实数域上，对于n n ⨯阶矩阵P 、Q ，如果P 是正定矩阵，Q 是半正定矩阵，则P Q P ≥+当且仅当0=Q 时取等。
证明 由题设可知Q P +正定，()P Q P -+半正定，P 正定，则根据命题1可知P Q P ≥+.)i 当0=Q 时，P Q P =+;)ii 当0≠Q 时，Q 的秩不小于1，而P 是正定矩阵，那么，存在实可逆矩阵T ，满足PT T E '= （6） ()QT T E T Q P T '+=+' （7） 记QT T A '=,则秩1≥A .记A 的特征值为n t t t ,,,21 ，因为A 的秩不小于1，QT T A '=是半正定矩阵，则至少存在一个0>i t ，n i ,,2,1 =.事实上可设01>t ，则n t t t +++1,,1,121 为E A +的特征值，且111>+t ， 由（7）有()()21211't t E A Q P T T Q P T ++=+=+=+…()n t +1所以21TQ P >+,结合（6）有21TP =,则P Q P >+,综上)i 、)ii ，得证。
例2 对于半正定矩阵M ，若0≠M ，证明：1>+E M . 证明 令E P =、M Q =，则根据例1即有1>+E M 成立。
命题2 若()n n ij t T ⨯=是正定矩阵，则nn t t t T 2211≤. 证明 记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-nn n n n n n t t t t t t t t t T 2122221112111由矩阵T 的正定性知，1-n T 正定，且0>ii t ，n i ,,2,1 =. 所以nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t T 1,211,12,11,11,222211,112111,21,11,12,21,121,2222111,112110000---------------+=11--=≤n nn n nn T t T t .同理可证1,121----≤n n n n t T T ； 依次进行下去，可得nn t t t T 2211≤. 根据命题2可推出下面的一个命题：命题'2 设n εεε,,,21 是n n ⨯阶方阵T表示列向量i ε的长度，则有=≤ni T 1成立。
注：在实数域上，命题'2的所有平行六面体，体积最大的是长方形。
命题3 若()n n ij t T ⨯=是n 阶实矩阵,且T 的元素ij t 满足λ<ij t （λ是常数），n j i ,,2,1, =.则2det nnn T λ≤.证明 根据题设条件可知T T '是半正定矩阵，而⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=222212222222************'nn nn nn t t t t t t t t t T T（8） 结合命题2可知（8）式中()()()222212222222121212211nn n n n n t t t t t t t t t T T +++++++++≤'n n n n n n 2222λλλλ=⋅≤所以 2det nnn T λ≤. 故得证。
注：该命题中的不等式称为Hadamard 不等式。
命题4 在实数域上，记n n ⨯阶矩阵T 为()n T εεε,,,21⋅⋅⋅=，n εεε,,,21⋅⋅⋅为n 维单位向量，则有1det ≤T 成立，当n εεε,,,21⋅⋅⋅两两正交时取等。
证明 )i 由题设可知，T T '是半正定矩阵，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n n n T T T εεααεεεεεεεεεεεεεεεεεε''''''''''''1212221212111 这里()121,,,-=n n n nεεεεα . 所以ααεα'-='='11T T T n （9）T α21≤-=则1=≤'T T ，故12≤T ，从而11≤≤-T ，所以1det ≤T . )ii 一方面，当1det =T 时，有1=T 或1-=T .又T T '是半正定矩阵，则TT '是正定矩阵，结合（9）式知 0='αα. 所以()0,=n i εε，1,,2,1-=n i . 根据T T '的正定性可知，T T '的各阶顺序主子式大于零，则()0,=j i εε，j i ≠.故n εεε,,,21⋅⋅⋅两两正交时取等。
另一方面，n εεε,,,21⋅⋅⋅两两正交时，1=='E T T ,则12=T,从而1det =T .命题5 在实数域上，对于n n ⨯阶的正定矩阵P 、Q ，有()λλλλ-≥-+11QP Q P成立，这里[]1,0∈λ.证明 欲证 ()λλλλ-≥-+11QP Q P即证 ()[]λλλλ--≥-+111QP E P Q Q 只需证 ()λλλλ--≥-+111QP E P Q Q只需证 ()λλλλ111--≥-+QP E P Q由Q 的正定性知，1-Q 正定，而P Q 1-的特征值i t 全部大于零，而对于方阵，其行列式与其特征值之和相等，可知()()λλλλ-+∏=-+=-1111i ni t E P Qλλλλi ni t P Q QP 111=--∏==对于每一个固定的i ，当[]1,0∈t 时，有λλλi i t t ≥-+1，则()λλλi ni i n i t t 111==∏≥-+∏，从而()λλλλ111--≥-+Q P E P Q ,综上，得证。