矩阵的秩的相关不等式的归纳小结 林 松 （莆田学院数学系，福建，莆田）

摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。 关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换 引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。

一 基本的定理 1 设A是数域P上nm矩阵，B是数域上ms矩阵，于是 秩（AB）min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩

2 设A与B是mn矩阵，秩（AB）秩（A）+秩（B） 二 常见的秩的不等式 1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B)  n 证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。 当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时 r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。 当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量， 从而B的列向量组的秩n-r,即r（B） n-r 所以 r(A) + r(B)  n

2设A为mn矩阵，B为ns矩阵，证明不等式r(AB)r(A)+r(B)-n

证：设E为n阶单位矩阵， SE为S阶单位方阵，则由于

000SEBAABAEEEB 而 0SEBE 可逆，故 r(A)+r(B)  秩 0AEB =秩 0AABE=秩 00ABE =r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB)  r(A) + r(B) - n

3设A，B都是n阶方阵，E是n阶单位方阵，证明 秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）

证：因为0AEBEBE00BE00ABEBE 故秩（AB-E）秩00ABEBE秩0AEBEBE =秩（A-E）+秩（B-E） 因此 秩（AB-E）秩（A-E）+秩（B-E）

4 设A，B，C依次为,,mnnsst的矩阵，证明 r(ABC)  r(AB) + r(BC) - r(B)

证：设 ,stEE分别为，s,t阶单位矩阵，则由于 0ABABCB0stECE0ABBBC 且0stECE是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)秩0ABBBC=秩0ABABCB=秩00ABCB = r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) r(AB) + r(BC) - r(B)

5 设A，B都是n阶矩阵，证明；r( A B + A + B )  r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二 r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一

r( A ) + r( B ) 6 设A，C均为mn矩阵，B，D均为ns矩阵，证明 r（ A B – C D） r（ A-C） + r（ B - D）

证明：根据分块矩阵的乘法可知

000mnECACEBD0nsEBE=0ACABCDBD

由此易知r（A-C）+r（B-D）=r0ACABCDBD r(AB-CD)

从而得r（AB-CD）  r（A-C） + r（B-D） 三 不等式等号成立的探讨

1 设A，B分别为mn和nm矩阵，则rAB=rA+rB-n的充分条件为： A0A0r=rEB0B





证明：由 E-AA0E-B0-ABE-B0-AB==0EEB0EEB0EE0





得：

A00-ABr=rEBE0





0-ABA0r=rAB+nr=rA+rBE0EB又，

rAB=rA+rB-n

2 设A，B分别为mn和nm矩阵，则rAB=rA+rB-n的充分必要条件为存在矩阵X、Y，使得nXA+BY=E 证明：根据题三 1，只需要证明

nXA+BY=EA0A0r=rXYEB0B存在、，使得 mnnnnmm

n

E0A0E0E0A0

=-XEEB-YE-YE-AXBA0E-XA-BYB由

当 nXA+BY=E 时，A0A0r=rEB0B rAB=rA+rB-n

12200,0000rSEEAQPBQ1设 P 1122

000000PQA

PQB







则

1122

0000PAQ

PBQ





1122

00PAQ

PBQ





00000000000000rSE

E







（1）

1122

00000PQA

PQEB







11222

000PAQ

PPBQ





112122

0PAQ

PQPBQ





12340000000000rSE

CCECC







（2） 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C，2C，3C，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C，2C，3C时也消去了4C，对式（2）右端分块记为120FCF 其中1F=00rEC， 2F=00SEC， C=1234CCCC 于是上述消去1C的行变换相当于 1000C000rE



1234CCCC2

34

0C

CC



消去其余234,,CCC有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S，T，使 S1F=T2F+C=0，即1122210SPAQPBQTPQ

从而有 令

得 nXABYE

3 设 A，B，分别为 ,,mnnllm矩阵，而B的一个满秩分解是B=HL，即H是列满秩矩阵，L是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X，Y 使得rXAHLCYE 证明：设r（B）=r，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)  r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r

又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r

矩阵X,Y 使得 rXAHLCYE

所以 3得证

4 设A为n阶矩阵，证明如果 2A = E，那么r（ A + E ） + r（ A – E ）= n

证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 r（ A + E ）+ r（ A – E ） n r( A + E ) + r( A – E )  r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)

2A = E