二次函数经典题型（启东教育）1.看图，解答下列问题．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．2.已知函数y=x2+bx-1 的图象经过点（3， 2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当 x>0 时，求使 y≥2的 x 的取值范围．3.已知抛物线y＝－ x2＋ mx－ m＋ 2．（1）若抛物线与x 轴的两个交点A、 B 分别在原点的两侧，并且AB＝ 5 ，试求m的值；（2）设 C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、 N，并且△MNC的面积等于27，试求 m 的值．4.如图，已知点 A（ tan α， 0）， B（ tan β， 0）在 x 轴正半轴上，点 A 在点 B 的左边，α、β是以线段AB 为斜边、顶点 C 在 x 轴上方的Rt△ ABC的两个锐角．5kx＋（ 2＋ 2k－k2）的图象经过A、 B 两点，求它的解析式；（1）若二次函数y＝－ x2－2（2）点 C 在（ 1）中求出的二次函数的图象上吗请说明理由．5.已知抛物线y x2 kx b 经过点 P(2， 3)， Q ( 1，0) ．y （1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线顶点为Q ON ，与y轴交点为A．求 sin∠ AON 的值．xMA（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M，求四边形OANM的面积．N6.已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A， B， C 三点，当x≥0时，其图象如图所示．(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y=ax2+bx+c 当 x<0 时的图象；(3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出 x 为何值时， y>0．(第 6 题)7.已知抛物线y ax2 bx c 与y轴的交点为 C，顶点为 M，直线 CM 的解析式 y=-x+2y并且线段 CM 的长为2 2（1）求抛物线的解析式。

O x （2）设抛物线与 x 轴有两个交点 A（ X1， 0）、 B（ X2， 0），且点 A 在 B 的左侧，求线段 AB 的长。

（3）若以 AB 为直径作⊙ N，请你判断直线CM 与⊙ N 的位置关系，并说明理由。

二次函数经典题型答案（启东教育）1．解：（ 1）由图可知 A （－ 1，－ 1）， B （ 0，－ 2）， C （1，1）设所求抛物线的解析式为 y ＝ ax 2＋ bx ＋ca b c ，a ，12 ∴ y ＝2x 2＋x －2．依题意，得 c， 解得 b ， 2 1a b c 1 c 2（2）y ＝2x 2＋x －2＝2（x ＋ 1） 2－ 1748∴ 顶点坐标为（－ 1 ，17），对称轴为 x ＝－ 1484（3）图象略，画出正确图象2．解：（ 1）函数 y=x 2+bx-1 的图象经过点（ 3，2）∴9+3b-1=2，解得 b=-2 ． ∴函数解析式为 y=x 2-2x-1（ 2） y=x 2-2x-1=(x-1)2-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为（ 1，-2） （ 3）当 x=3 时， y=2，根据图象知，当 x ≥3时， y ≥2 ∴当 x>0 时，使 y ≥2的 x 的取值范围是 x ≥3．3．解：(I)设点Ａ（x 1，0）， B(x 2 ，0) ， 则 x 1 ，x 2 是方程 ∵ x 1 ＋ x 2 ＝ m ， x 1·x 2 =m － 2 ＜0 即 m ＜ 2；又 AB ＝∣ x ∣＝ （ 1 2 1 2，∴ m 2－4m ＋3=0 5x x 4x xx 2－ mx ＋ m －2＝0 的两根．． 解得： m=1 或 m=3(舍去 ) ，∴ m 的值为 1 ．（ II ）设 M(a ， b)，则 N(－a ，－ b) ．∵M 、N 是抛物线上的两点，a 2 ma m 2 b,L ① ∴a 2ma m2b.L ②①＋②得：－ 2a 2－ 2m ＋ 4＝ 0 ．yC∴a 2＝－ m ＋2．∴当 m ＜2 时，才存在满足条件中的两点 M 、 N ． Nx∴ a2 m ．OM这时 M 、N 到 y 轴的距离均为 2 m ，又点 C 坐标为（ 0，2－m ），而 S △M N C = 27 ，∴2×1×（ － ）× 2 m =27 ． ∴解得 － 7 ．2 m m=24.解：（ 1）∵ α，β是 Rt △ABC 的两个锐角，∴ tan α· tan β＝ 1．tan α＞ 0， tan β＞ 0．由题知 tan α， tan β是方程x 2＋ 5kx －（ 2＋2k －k 2）＝ 0 的两个根，2222∴ tanx ·tan β＝（ 2＝2k －k ）＝ k －2k －2，∴k －2k － 2＝ 1．而 tan α＋ tan β＝－ 5k ＞0，2∴ k ＜ 0．∴ k ＝3 应舍去， k ＝－ 1．故所求二次函数的解析式为 y ＝－ x 2＋ 5x － 1．2（2）不在．过 C 作 CD ⊥AB 于 D ．令 y ＝ 0，得－ x 2＋ 5x － 1＝ 0，21解得 x 1＝ ，x 2＝2．2∴ A （ 1，0）， B （ 2， 0）， AB ＝ 3．22∴ tan α＝ 1， tan β＝ 2．设 CD ＝m ．则有 CD ＝ AD ·tan α＝ 1AD ．2 2∴ AD ＝2CD ．又 CD ＝BD ·tan β＝ 2BD ，∴ BD ＝ 1 CD ．2∴ 2m ＋ 1m ＝ 3．22∴ m ＝ 3 ．∴5AD ＝ 6 5． ∴ C （17， 3）．10 5 当 x ＝ 17 时， y ＝ 9 ≠3 10 25 5∴ 点 C 不在（ 1）中求出的二次函数的图象上．0 1 k b5.解：（ 1）解方程组4 2k b3得k2 ， y x 2 2x 3． b3（ 2）顶点 N (1， 4)， ON17，sin ∠ AON17 ．17（ 3）在y x 22x 3 中，令 x 0 得 y3 ， ，3) ，A(0 令 y 0得 x1 或 3 ， M (3，0) ．S 四边形△△3 6 7.5 （面积单位）26.解： (1)由图象，可知 A(0,2)，B(4,0)， C(5,-3)，得方程组解得∴抛物线的解析式为顶点坐标为(2)所画图如图．(3)由图象可知，当 -1<x<4 时， y>0．7.（1）解法一：由已知，直线 CM ：y=－x ＋2 与 y 轴交于点 C （0,2）抛物线 y ax 2 bx c过点 （），所以，抛物线 y ax 2bx c 的顶点b , 4ac b 2 上，4a2a所以 4a 2b 2b 2 , 解得 b0或 b24a2a若 b ＝0，点 C 、M 重合，不合题意，舍去，所以 b ＝－ 2。

即 M 1 , 2 1a a过 M 点作 y 轴的垂线，垂足为 Q ，在 Rt CMQ 中，CM 2 CQ 2 QM 2 所以， 8 ( 1)2[ 2 (21)] 2，解得， a 1 。

aa2∴所求抛物线为： y1 x2 2x 2 或 y1 x2 2x 2 以下同下。

22（ 1）解法二：由题意得 C(0 , 2),设点 M 的坐标为 M （x ， y ）∵点 M 在直线 y x 2 上，∴ yx 2由勾股定理得 CM x 2 ( y 2) 2 ，∵ CM2 2∴ x 2( y 2) 2 = 2 2 ，即 x 2 ( y 2) 28yx2x 12 x 2 2 解方程组x 2 ( y 2 ) 2 8得 y 1 4y 2∴ M （-2，4） 或 M ‘ （2，0）当 M （-2， 4）时，设抛物线解析式为 y a(x 2) 2 4 ，∵抛物线过（ 0，2）点，∴ a1，∴ y1 x2 2x 222当 M ‘ （2，0）时，设抛物线解析式为y∵抛物线过（ 0，2）点，∴ a1，∴ y21 x2 ∴ 所 求 抛 物 线 为 ： y1 x 22y2x 22（ 2）∵抛物线与 x 轴有两个交点，∴ y1 x2 2x 2 不合题意，舍去。

2∴抛物线应为： y1 x2 2x 22a( x2) 2 1 x 22x 222x 2或yM（M抛物线与 x 轴有两个交点且点A 在B 的左侧，∴A N由1 22 x 2 0 ，得x2AB x 1 x 2 4 2（ 3）∵ AB 是⊙ N 的直径，∴ r = 2 2 ， N （－ 2，0），又∵ M （－ 2，4），∴ MN = 4设直线 yx 2 与 x 轴交于点 D ，则 D （ 2， 0），∴ DN = 4，可得 MN = DN ，∴MDN 45 ，作 NG ⊥CM 于 G ，在 Rt NGD 中，NGDN sin 45 2 2 = r即圆心到直线 CM 的距离等于⊙ N 的半径，∴直线 CM 与⊙ N 相切。