2 2

例3
ABC的三个顶点的坐标分别 是A（ 5， 1 ）
B（ 7， 3），C（
2， 8）， 求它的外接圆的方程 。
分析:不在同一条直线上的三点可以确定一 个圆,三角形有唯一的外接圆.
那么如何求圆的方程呢?
关键是求圆心坐标和半径! 一般可用待定系数法去求.即设出圆心坐 标和半径,利用已知条件列出相应的方程,通 过解方程组求出圆心坐标和半径.
所以圆心为C的圆的标准方程是
( x 3) ( y 2) 25
2 2
思考:求三角形外接圆的两种方法. 小结:本节课主要学习了圆的标准方程及 如何求圆的标准方程,还有点和圆的位置 关系.
4.1 圆的方程
4.1.1圆的标准方程
思考:什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。
Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
一、建立圆的标准方程
求圆心为Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。
如图（１），设M(x ,y )是 圆上任意一点，根据定义，点 Ｍ到圆心Ｃ的距离等于r ，所以 圆Ｃ就是集合 Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝
l
A O C B X
又圆心C在直线上,因此圆心C 是直线 l与l '的交点， 半径长等于CA 或CB。
解:因为A(1,1),B(2,-2),所以线段
l
A O C B X
AB的中点D的
坐标为
3 1 ( , ) 2 2
k AB
直线AB的斜率为
2 1 3 2 1
因此线段AB的垂直平分线l’的方程是
二、圆的标准方程的应用
例1写出圆心为A（ 2， 3）， 半径长等于5的圆 的方程， 并判断点M（ 5， 7），N（ 是否在这个圆上 。 5， 1）
探究： 点M ( x0 , y0 )在圆内的条件是什么 ？ 在圆外的条件又是什么 ？
小结：P
( x0 , y )与圆
0
2
( x a)
2
2
2
( y b) r
y
r c o
M
x
2
② 方程②就是圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的方程，我 们把它叫做圆的标准方程。
点Ｍ适合的条件可表示为: ①式两边平方，得 ( x a) ( y b) r
2
图⑴ (xa) ( y b) ＝r ①
2
2
a 0, b 0 ，那么 特别的，如果圆心在原点，这时 2 2 2 x y r 圆的方程是
1 1 3 y (x ) 2 3 2
即 x-3y-3=0
l
A O C B X
圆心C的坐标是方程组 X-3y-3=0 X-y+1=0

的解

解此方程组,得: X=-3 y=-2
C O
l
A X B
所以圆心C的坐标是(-3,-2). 圆心为C的圆的半径长
r AC (1 3) 2 (1 2) 2 5
2
2
的关系判断：
⑴ ( x0 a) ( y 0 b) r ，P在圆外，
⑵ ( x0 a) ( y 0 b) r ，P在圆上，
2
(3) ( x0 a) 2 ( y0 b) 2 r , P在圆内 。
例２
说出下列圆的圆心坐标和半径长：
⑴ x32 y 22 4 ; 2 2 ⑵ x4 y 2 7 ; ⑶ x y 1 16.
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)
和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0 上,求圆心为C的圆的标准方程.
分析:如图所示,确定一 个圆只须确定圆心位 置与半径大小. 圆心为C的圆经过点 A(1,1)和B(2,-2),由于圆 心C与A,B两点的距离 相等,所以圆心C在线段 ' AB的垂直平分线 l上 Y