… …
总
投
入
二 投入产出表的数学模型 投入产出表的数学模型主要表现四个方面的关系：
（一）横向关系 各生产部门为其他部门(包括本部门)提供的中间产品和为社会提供的 最终产品之和减进口等于该部门的总产品，公式表示为：
该式称为投入产出表的分配平衡方程组。 （二）纵向关系
各生产部门的中间投入加最初投入等于该部门的总投入，公式表示为：
所以： Y ( I A) X
1 0 0 0.1053 0.0111 0.1053 299.25 = 0 1 0 - 0.1404 0.1111 0.2632 1980 0 0 1 0.0526 0.0333 0.1754 638.4
Y ' M
i 1 i i 1
n
n
i
G j
j 1
n
三、
在模型中引入直接消耗系数
直接消耗系数是指第j部门生产单位产品所直接消耗的第i部门产品 或服务的数量, 记为aij (i、j＝1、2、……、n)。公式表示为：
a ij
xij X
j
由上节简表中的数据计算的全部直接消 耗系数列表如下： 其他部门 3 0.1053 0.2632 0.1754 0.5439
第三章 投入产出表的数学模型
第一节
第二节
投入产出表数学模型的一般形式
完全消耗系数
第一节
投入产出表数学模型的一般形式
一、投入产出表的一般形式
中
产出 投入 部门1 部门2 … 部门n 部 门1 x11 x21 … xn1
1
间
使
用
合计 ∑x1j ∑x2j … ∑xnj ∑∑x
ij
最
最终 消费 wi w1 w2 …. wn ∑ wi
Y ( I A) X
X ( I A) 1 Y
投入产出 表行模型
出 X。
例：利用上述的直接消耗系数，已知农业、工业和“其 他”三个部门的总产出分别在285亿元、1800亿元和570亿元 的基础上增长5%、10%和12%，试推算各部门的最终使用。
285 × 105% = 299.25 0.1053 0.0111 0.1053 X = 1800 × 110% = 1980 A = 0.1404 0.1111 0.2632 解：已知 570 × 112% = 638.4 0.0526 0.0333 0.1754
Y1 a11 a12 L a1n X1 Y a 21 a 22 L a 2n X2 Y = 2 式中： A = X = L L L Yn X a a L a n n1 n2 nn
该方程组称为投入产出表的消耗平衡方程组。
（三）横向与纵向关系 就各部门而言(即i=j时)，i部门总产出等于j部门总投入，即第 I、II象限之和等于第I、III象限之和，公式表示为：
x
j 1
n
ij
Y 'i M i xij G j
i 1
n
（四）最终使用与最初投入之间的关系 第II象限总量等于第III象限总量，即在一定时期内，全社会 国内生产总值的使用额与生产额相等。公式表示为：
a11X1 + a12 X 2 + a 21X1 + a 22 X 2 +
…… a n1X1 + a n2 X 2 + + a nn X n + Yn - M n = X n 第n行 为了简便，令 Y 'i M i Yi （下文仍称Yi为最终产品） 上述方程组可用矩阵表示为： AX Y X
i
中 间 投 入
…
…
合
计
∑ xi ∑ xi … ∑ xi d1 v1 T1 r1 G1 X1 d2 v2 T2 r2 G2 X2 dn vn Tn rn Gn Xn
…
∑Y ’i
∑ Mi ∑ X
最 初 投 入
固定资产折 旧 劳动者报酬 生产税净额 营业盈余 合 计
…
∑ dj ∑vj ∑Tj ∑rj ∑ Gj ∑ Xj
0.1053 0.0111 0.1053 0.1404 0.1111 0.2632 0.0526 0.0333 0.1754
直接消耗系数反映的是各部门之间的技术经济联系。直接消耗系数是 投入产出模型的核心。有了直接消耗系数，我们就可以把经济因素和技术因 素有机地结合起来，对经济问题进行定性与定量的结合分析。
把直接消耗系数引入投入产出表的行模型: 由式 aij 第一行 第二行
= xij Xj
得
xij aij X j 代入投入产出表的横向关系方程:
+ a1n X n + Y1 - M1 = X1 + a 2n X n + Y2 - M 2 = X 2
可以由已知的各部 门总产出Xi推算各 部门的最终使用Yi 当知道 直接消 耗系数 矩阵A和 最终使 用列向 量Y时, 可推算 各部门 的总产
终
使
用
部 门2 x12 x22 … xn2
2
部门 … n x1n x2n … xnn
n
出口 合计 资本 … 形成Hi Ei Y’i H1 H2 … Hn ∑ Hi E1 E2 … En ∑ Ei Y ’1 Y ’2 … Y ’n
进 口 (-) Mi
M1 M2 … Mn
总 产 出 Xi
X1 X2 … Xn
xn1 xn 2 xnn Y ' n M n X n
x11 x12 x1n Y '1 M 1 X 1 x21 x22 x2n Y ' 2 M 2 X 2 ……..
x11 x21 xn1 G1 X 1 x12 x22 x2n G2 X 2 …… x1n x2n xnn Gn X n
直接消耗系数表 农业部门 1 工业部门 2 农业部门1 工业部门2 其他部门3 合 计 0.1053 0.1404 0.0526 0.2983 0.0111 0.1111 0.0333 0.1555
全部直接消耗系数组成的矩阵称直接消耗系数矩阵，用大写字母Ａ表 示，即：
a11 a 21 A = a n1 a12 a 22 a n2 a1n a 2n a nn