投入产出数学模型练习题解答
（1）在经济预测中的应用
该系统的计划期总产品和最终产品分别记为()1
2
3
,,x x x x '= 和()1
2
3
,,y y y y '= 。

根据表中报告期的总产品
数据以及预计的计划期总产品增长幅度，该系统三个部门的计划期总产品应分别为
工业部门： ()156019%610.4x =+=亿元
农业部门： ()234017%363.8x =+=亿元 其他产业部门：()328016%296.8x =+=亿元
将这些数据代入产品分配平衡方程组，可求得 ()y I A x =-
即 1230.650.30.25610.4213.420.150.80.15363.8154.960.20.10.9296.8108.66y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪--⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由此可对该系统三个部门的计划期最终产品及其相对于报告期最终产品的增长幅度作出预测
工业部门：1213.42y =亿元，增长
213.42192
11.2%192
-= 农业部门：2153.96y =亿元，增长
153.96146
6.1%146-= 其他产业部门：2108.66y = ，增长
108.66106
2.5%106
-= 根据预测结果，可对该系统的计划期最终产品与实际需要是否相符作出判断，避免出现大的偏差。

（2）在制订计划中的应用
将数据代入产品分配方程组，可求得
()1
x I A y -=-
即 1230.7050.2950.24521664010.1650.5350.1351764000.3650.1750.1250.475120320x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由此可知，该系统三个部门的计划期总产品分别为
工业部门：1640x = 亿元 农业部门：2400x = 亿元
其他产业部门：3320x = 亿元
用上述三个部门的总产品分别乘该系统的直接消耗系数矩阵中对应列的元素，可得到该系统计划期部门间流量的矩阵
6400.354000.33200.256400.154000.23200.156400.24000.13200.1⨯⨯⨯⎛⎫ ⎪⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭
224120809680481284032=
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
工业
农业
其他
工业农业其他
再将上述三个部门的总产品(总产值)代入产值构成平衡方程组，可求得该系统三个部门的计划期净产值分别为
11(1,2,,)n
j ij j i z a x j n =⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
∑
工业部门：110.30.3640192z x ==⨯=亿元
农业部门：220.40.4400160z x ==⨯=亿元 其他产业部门：330.50.5320160z x ==⨯=亿元 根据以上所求得的各项数据即可编制出该系统的计划期投入产出表
（3）在调整计划中的应用
将该系统计划期的总产品调整量和最终产品调整量分别记作()1
2
3
,,x x x x '∆=∆∆∆ 和()1
2
3
,,y y y y '∆=∆∆∆。

调整以后
该系统的总产品x x +∆ 与最终产品y y +∆应满足产品分配方程组，即
()()()()111
x x I A y y I A y I A y ---+∆=-+∆=-+-∆
由该系统原计划的平衡性可知
()1
x I A y -=-
于是得到总产品调整量x ∆与最终产品调整量y ∆之间的关系式
()1
x I A y -∆=-∆-------（*） 根据前面的假定，计划期的最终产品调整量为()9.5,6,0y '∆=- ，将其代入(*)式即可求得
1230.7050.2950.2459.513.510.1650.5350.1356 4.50.3650.1750.1250.4750 2.5x x x ∆--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪∆== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
-∆⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由此可见，为了缩减工业部门9.5亿元的最终产品余量和弥补农业部门6亿元的最终产品缺口，在计划期内，该系统的工业部门应减少13.5亿元总产品，农业部门应增加4.5亿元总产品，其他产业部门应减少2.5亿元总产品，才能使系统恢复平衡。