高中数学模块综合测试卷(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是( )A.21)1(+-n B.cos 2πnC.cos2)1(π+n D.cos 2)2(π+n 解析：分别取n=1,2,3,4代入验证可得.答案：D2.(2006全国高考卷Ⅰ,理6文8)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a,则cosB 等于( ) A.41 B.43 C.42 D.32 解析:∵a、b 、c 成等比数列, ∴b 2=ac. 又∵c=2a, ∴b 2=2a 2.∴cosB=ac b c a 2222-+=2222424aa a a -+=43. 答案：B3.在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a(a≠0),a 19+a 20=b,则a 99+a 100等于( )A.89a b B.(a b )9 C.910ab D.(a b )10解析：∵a 19+a 20=a 9q 10+a 10q 10=q 10(a 9+a 10)(q 为公比)， ∴q 10=1092019a a a a ++=ab.又a 99+a 100=a 19q 80+a 20q 80=q 80(a 19+a 20)=(a b )8·b=89ab .答案：A4.首项为2，公比为3的等比数列，从第n 项到第N 项的和为720，则n,N 的值分别是( ) A.n=2,N=6 B.n=2,N=8 C.n=3,N=6 D.n=3,N ＞6 解析：∵S N -S n-1=720，∴31)31(231)31(21------n N =720，即3N -3n-1=720.将选项代入知N=6,n=3适合上述方程. 答案：C5.设α、β是方程x 2-2x+k 2=0的两根，且α,α+β,β成等比数列，则k 为( ) A.2 B.4 C.±4 D.±2解析：α+β=2，αβ=k 2,又(α+β)2=αβ，∴4=k 2. ∴k=±2. 答案：D6.等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n+r ，则r 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.3 解析：当n=1时，a 1=3+r ；当n≥2时，a n =S n -S n-1=2·3n-1,要使{a n }为等比数列，则3+r=2，即r=-1. 答案：A7.(2006高考辽宁卷，8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m 的范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(3,+∞) 解析:设A ＞B ＞C,则B=3π,A+C=32π,0＜C ＜6π,于是m=c a =CAsin sin =C CC C C sin sin 21cos 23sin )32sin(+=-π=23cotC+21,∵3＜cotC,∴m＞2.答案：B8.设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100，那么a n +b n 所组成的数列的第37项的值是( )A.0B.37C.100D.-37解析：设{a n }的公差为d 1,{b n }的公差为d 2，则a n =a 1+(n-1)d 1,b n =b 1+(n-1)d 2. ∴a n +b n =(a 1+b 1)+(n-1)(d 1+d 2). ∴{a n +b n }也是等差数列.又a 1+b 1=100,a 2+b 2=100，∴{a n +b n }是常数列.故a 37+b 37=100. 答案：C9.(2006高考陕西卷，文9)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a ＞0),若x 1＜x 2，x 1+x 2=0，则( ) A.f(x 1)＜f(x 2) B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)＞f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定解析：函数f(x)=ax 2+2ax+4(a ＞0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为x=-1，a ＞0, ∴x 1+x 2=0,x 1与x 2的中点为0，x 1＜x 2.∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离. ∴f(x 1)＜f(x 2). 答案：A10.数列{a n }中，a n ＞0且{a n a n+1}是公比为q(q ＞0)的等比数列，满足a n a n+1+a n+1a n+2＞a n +2a n+3(n∈N *)，则公比q 的取值范围是( )A.0＜q ＜221+ B.0＜q ＜251+ C.0＜q ＜221+- D.0＜q ＜251+- 解析：令n=1，不等式变为a 1a 2+a 2a 3＞a 3a 4，∴a 1a 2+a 1a 2q ＞a 1a 2q 2.∵a 1a 2＞0,∴1+q＞q 2. 解得0＜q ＜251+. 答案：B11.在△ABC 中，tanAsin 2B=tanBsin 2A,那么△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形 解析：由题意得sin2A=sin2B,则A=B 或A+B=2π. 答案：D12.某人从2002年起，每年1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率为r 保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2006年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为(单位为元)( )A.a(1+r)5B.r a ［(1+r)5-(1+r)］ C.a(1+r)6 D.ra ［(1+r)6-(1+r)］解析：2002年1月1日到2002年12月31日的钱数为a(1+r)；2003年1月1日到2003年12月31日的钱数为［a(1+r)+a ］(1+r)；2004年1月1日到2004年12月31日的钱数为｛a ［(1+r)2+(1+r)］+a ｝(1+r)，即a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］；2005年1月1日到2005年12月31日的钱数为{a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］+a}(1+r)，即a ［(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］， ∴2006年1月1日可取回的钱数为a×)1(1])1(1)[1(4r r r +-+-+=r a ［(1+r)5-(1+r)］.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上)13.三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是____________________. 解析：由5x 2-7x-6=0,得x 1=-53, x 2=2(舍去),∴cosθ=-53,sinθ=54. ∴S=21×3×5×54=6 (cm 2).答案：6 cm 214.数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于_______________. 解析：∵a n =2n-49,∴{a n }是等差数列，且首项为-47，公差为2. 由⎩⎨⎧≤=>=0,49-1)-2(n a 0,49-2n a 1-n n解得n=25.∴从第25项开始为正，前24项都为负数，故前24 项之和最小. 答案：2415.若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b 的值是_______________.解析：由题意知，首项为41，则第四项为43，则另两根应为41+61=125,41+61×2=127. ∴a=41×43=163,b=125×127=14435.∴a+b=163+14435=7231.答案：723116.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________________. 解析：这辆汽车原来每天行驶的路程为x km ，则⎩⎨⎧+<>+19),8(x 12)-9(x 200,219)8(x 解之,得 256＜x ＜260. 答案：256＜x ＜260三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)在△ABC 中，已知tan(A+B)=1,且最长边为1,tanA ＞tanB,tanB=31，求角C 的大小及△ABC 最短边的长. 解：由已知得A+B=4π,C=43π.又tanA ＞tanB,∴B 是△ABC 的最小内角.又tanB=31,∴sinB=1010.∵B b sin =C c sin ,∴b=C c sin ·sinB=55. ∴C=43π,其最短边长为55. 18.(12分)写出数列13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,…的一个通项公式，并验证2 563是否为数列中的一项.解：该数列的一个通项公式为a n =13+n(n+1).令13+n(n+1)=2 563，则n 2+n-2 550=0， 解得n=50或n=-51(舍). ∴2 563是该数列的第50项.19.(12分)(2006高考全国卷Ⅱ，文17)在△ABC 中,∠B=45°,AC=10,cosC=552， (1)求BC 边的长;(2)记AB 的中点为D,求中线CD 的长. 解：(1)由cosC=552得sinC=55,sinA=sin(180°-45°-C)=22(cosC-sinC)=1010. 由正弦定理知BC=B AC sin ·sinA=2210·1010=2. (2)AB=B AC sin ·sinC=2210·55=2. BD=21AB=1. 由余弦定理知CD=B BC BD BC BD cos 222∙∙-+=13222312181=⨯⨯⨯-+. 20.(12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1,a n+1=nn 2+S n (n=1,2,3，…)，证明 (1)数列{nS n}是等比数列； (2)S n+1=4a n .证明：(1)a n+1=S n+1-S n ,a n+1=nn 2+S n ， ∴(n+2)S n =n(S n+1-S n ).整理得nS n+1=2(n+1)S n ,∴11++n S n =2nSn . 故{nS n}是以2为公比的等比数列. (2)由(1)知11++n S n =411--n Sn (n≥2). 于是S n+1=4(n+1)11--n S n =4a n (n≥2). 又S 1=a 1=1,a 2=3S 1=3,故S 2=a 1+a 2=4=4a 1.因此对于任意整数n≥1，都有S n+1=4a n .21.(12分)一个公差不为0的等差数列{a n }共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b n }的第1、3、5项. (1)求{a n }各项的和S ； (2)记{b n }的末项不大于2S，求{b n }项数的最值N ； (3)记{a n }前n 项和为S n ，{b n }前N 项和为T n ，问是否存在自然数m ，使S m =T n . 解：设{a n }公差为d ，a 1=5,a 4=5+3d,a 16=5+15d 分别为{b n }的第1、3、5项,∴(5+3d)2=5(5+15d)，得d=5或d=0(舍). (1)S=100×5+299100⨯×5=25 250. (2)∵b 1=a 1=5,b 3=a 4=20，∴q 2=13b b =4. ∴q=2或q=-2(舍),b n =5·2n-1. 令5·2n-1≤225250， ∴2n≤5 050.又212＜5 050＜213，即n ＜13,且212=4 096＜5 050, ∴n 的最大值N=12. (3)设有S m =T n ,即5m+2)1(-m m ×5=5(212-1)，整理得m 2+m-8 190=0， ∴m=90＜100或m=-91(舍)，即存在m=90使S 90=T 12.22.(14分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t 需耗A 种矿石10 t ，B 种矿石5 t ，煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t ，B 种矿石4 t ，煤9 t ；每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元，工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过3 00 t,B 种矿石不超过200 t ，煤不超过360 t .甲、乙两种产品各生产多少，能使利润总额达到最大？(准确到0.1 t)解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,y 0,x 360,9y 4x 200,4y 5x 300,4y 10xz=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)即可行域.作直线l ：600x+1 000y=0,即作直线l ：3x+5y=0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过平行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+360,9y 4x 200,4y 5x 得M 的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈34.5. 答：应生产甲产品约12.4吨，乙产品约34.5吨，能使利润总额达到最大。