必修五阶段测试四(本册综合测试)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ≤2B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >2或x ≤34 D ．{x |x <2} 2．(2017·存瑞中学质检)△ABC 中，a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 外接圆的直径为( ) A ．4 3 B ．5 C ．5 2 D ．6 2 3．若a <0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解为( )A ．x >5a 或x <－aB ．x >－a 或x <5aC ．－a <x <5aD ．5a <x <－a 4．若a ＞0，b ＞0，且lg(a ＋b )＝－1，则1a ＋1b 的最小值是( )A.52B ．10C ．40D ．80 5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 6．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1bB.1a 2>1b 2C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 7．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 8．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a —b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．169．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和，记T n ＝17S n －S 2na n ＋1(n ∈N *)，设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 10．设全集U ＝R ，A ＝{x |2(x －1)2<2}，B ＝{x |log 12(x 2＋x ＋1)>－log 2(x 2＋2)}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |1≤x <2}B ．{x |x ≥1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1} 11．在等比数列{a n }中，已知a 2＝1，则其前三项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0]∪[1，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)12．(2017·山西朔州期末)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S n <m对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2017·福建莆田二十四中期末)已知数列{a n }为等比数列，前n 项的和为S n ，且a 5＝4S 4＋3，a 6＝4S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.14．(2017·唐山一中期末)若x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．15．如右图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于3a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°.灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为________．16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(2017·山西太原期末)若关于x 的不等式ax 2＋3x －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <1. (1)求a 的值；(2)求不等式ax 2－3x ＋a 2＋1>0的解集．18.(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．19．(12分)(2017·辽宁沈阳二中月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝13.(1)求sin 2B ＋C2＋cos2A 的值；(2)若a ＝3，求bc 的最大值．20.(12分)(2017·长春十一高中期末)设数列{a n }的各项都是正数，且对于n ∈N *，都有a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝S 2n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求a 2；(2)求数列{a n }的通项公式．21．(12分)已知点(x ，y )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2n ，x ≥0，y ≥0(n ∈N ＋)内的点，目标函数z ＝x ＋y ，z 的最大值记作z n .若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且点(S n ，a n )在直线z n ＝x ＋y 上．(1)证明：数列{a n －2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .22.(12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)该厂从第几年起开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？答案与解析1．B 由3x －12－x ≥1，可得3x －12－x －1≥0，所以3x －1－(2－x )2－x ≥0，即4x －32－x ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧(4x －3)(x －2)≤0，x －2≠0，解得34≤x <2.故选B.2．C ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴12×1×22c ＝2，∴c ＝42， ∴b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝32＋1－2×1×42×22＝25， ∴b ＝5，∴外接圆的直径为b sin B ＝522＝52，故选C. 3．B (x ＋a )(x －5a )>0. ∵a <0, ∴－a >5a . ∴x >－a 或x <5a ，故选B.4．C 若lg(a ＋b )＝－1，则a ＋b ＝110，∴1a ＋1b ＝10⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝10⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋ab ≥10(2＋2)＝40. 当a ＝b ＝120时，“＝”成立，故选C.5．A ∵a 1＝1，a 3＝5，∴公差d ＝5－12＝2，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S k ＋2－S k ＝a k ＋2＋a k ＋1＝2(k ＋2)－1＋2(k ＋1)－1＝4k ＋4＝36，∴k ＝8，故选A. 6．C ∵a >b ，1c 2＋1>0，∴a c 2＋1>bc 2＋1，故选C.7．B 由等差数列的性质知，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32， ∴a 8＝8.又a m ＝8，∴m ＝8.8．C如图所示，当直线z ＝5y －x 经过A 点时z 最大，即a ＝16，经过C 点时z 最小，即b ＝－8，∴a －b ＝24，故选C.9．A S n ＝a 1(2n －1)2－1＝a 1(2n－1)，S 2n ＝a 1(22n －1)2－1＝a 1(22n －1)，a n ＋1＝a 1·2n ，∴T n ＝17S n －S 2n a n ＋1＝17a 1(2n －1)－a 1(22n －1)a 1·2n ＝17－⎝⎛⎭⎫2n ＋162n ≤17－8＝9，当且仅当n ＝2时取等号，∴数列{T n }的最大项为T 2，则n 0＝2，故选A.10．A 由2(x －1)2<2，得(x －1)2<1.解得0<x <2. ∴A ＝{x |0<x <2}．由log 12(x 2＋x ＋1)>－log 2(x 2＋2)，得log 2(x 2＋x ＋1)<log 2(x 2＋2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1>0，x 2＋2>0，x 2＋x ＋1<x 2＋2.解得x <1.∴B ＝{x |x <1}．∴∁U B ＝{x |x ≥1}． ∴阴影部分表示的集合为 (∁U B )∩A ＝{x |1≤x <2}．11．D 设数列{a n }的公比为q ，则a 2＝a 1q ＝1，∴q ＝1a 1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1＋1＋1a 1，当a 1>0时，S 3≥1＋2a 1·1a 1＝3，当且仅当a 1＝1时，取等号；当a 1<0时，S 3≤1－2＝－1，当且仅当a 1＝－1时，取等号．故S 3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 12．D a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(n －1＋1)＋(n －2＋1)＋…＋(1＋1)＋1 ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，当n ＝1时，也满足上式， ∴a n ＝n (n ＋1)2，1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.∵S n <m 对一切正整数n 恒成立，∴m ≥2，故选D. 13．5解析：由题可得a 5－a 6＝4S 4－4S 5＝－4a 5， ∴a 6＝5a 5，∴q ＝5. 14．4解析：∵x ＋2y ＋2xy ＝8， 又2xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22， ∴x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22≥8，∴14(x ＋2y )2＋x ＋2y －8≥0， ∴x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2y ＝2时，等号成立． ∴x ＋2y 的最小值为4. 15.3a km解析：由题意知，∠ACB ＝120°，∴AB 2＝3a 2＋3a 2－23a ×3a cos120°＝9a 2, ∴AB ＝3a km. 16. 3解析：由正弦定理及(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，又a ＝2， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.又22＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ， ∴bc ≤4.当且仅当b ＝c 时取等号． ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3.17．解：(1)依题意，可知方程ax 2＋3x －1＝0的两个实数根为12和1，∴12＋1＝－3a 且12×1＝－1a 解得a ＝－2， ∴a 的值为－2，(2)由(1)可知，不等式为－2x 2－3x ＋5>0，即2x 2＋3x －5<0， ∵方程2x 2＋3x －5＝0的两根为x 1＝1，x 2＝－52，∴不等式ax 2－3x ＋a 2＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－52<x <1. 18．解：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因a >c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因a ＝b >c ，所以C 是锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.19.解：(1)在△ABC 中，∵cos A ＝13，∴sin 2B ＋C 2＋cos2A ＝12[1－cos(B ＋C )]＋2cos 2A －1＝12(1＋cos A )＋2cos 2A －1＝－19.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴3＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，∴bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，等号成立，∴bc 的最大值为94.20．解：(1)在已知式中，当n ＝1时，a 31＝a 21，∵a 1>0，∴a 1＝1， 当n ≥2时，a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝S 2n ，① a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n －1＝S 2n －1，②①－②得a 3n ＝a n (2a 1＋2a 2＋…＋2a n －1＋a n )．∵a n >0，∴a 2n ＝2a 1＋2a 2＋…＋2a n －1＋a n ，即a 2n ＝2S n －a n ，∴a 22＝2(1＋a 2)－a 2，解得a 2＝－1或a 2＝2， ∵a n >0，∴a 2＝2.(2)由(1)知a 2n ＝2S n －a n (n ∈N *)，③当n ≥2时，a 2n －1＝2S n －1－a n －1，④③－④得a 2n －a 2n －1＝2(S n －S n －1)－a n ＋a n －1＝2a n －a n ＋a n －1＝a n ＋a n －1.∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1，可得a n ＝n .21.解：(1)证明：由已知当直线过点(2n,0)时，目标函数取得最大值，故z n ＝2n .∴方程为x ＋y ＝2n .∵(S n ，a n )在直线z n ＝x ＋y 上，∴S n ＋a n ＝2n .① ∴S n －1＋a n －1＝2(n －1)，n ≥2.②由①－②得，2a n －a n －1＝2，n ≥2.∴a n －1＝2a n －2，n ≥2.又∵a n －2a n －1－2＝a n －22a n －2－2＝a n －22(a n －2)＝12，n ≥2，a 1－2＝－1，∴数列{a n －2}是以－1为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)得a n －2＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，∴a n＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1. ∵S n ＋a n ＝2n ，∴S n ＝2n －a n ＝2n －2＋⎝⎛⎭⎫12n －1.∴T n ＝⎣⎡⎦⎤0＋⎝⎛⎭⎫120＋⎣⎡⎦⎤2＋⎝⎛⎭⎫12＋…＋⎣⎡⎦⎤2n －2＋⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝[0＋2＋…＋(2n －2)]＋⎝⎛⎭⎫120＋⎝⎛⎭⎫12＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1＝n (2n －2)2＋1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2－n ＋2－⎝⎛⎭⎫12n －1. 22．解：由题意知f (n )＝50n －⎣⎡⎦⎤12n ＋n (n －1)2×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)由f (n )>0，即－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18.由n ∈N ＋知，该厂从第3年起开始盈利． (2)方案①：年平均纯利润f (n )n ＝40－2⎝⎛⎭⎫n ＋36n ，∵n ＋36n ≥2n ×36n＝12，当且仅当n ＝6时取等号，∴f (n )n≤40－2×12＝16.因此方案①共获利16×6＋48＝144(万元)，此时n ＝6.方案②：f (n )＝－2(n －10)2＋128.从而方案②共获利128＋16＝144(万元)．比较两种方案，获利都是144万元，但由于第一方案只需6年，而第②种方案需要10年，因此，选择第①种方案更合算．。