两个结论还成立，连接 AE，交 MD 于点 G，∵ 点 M 为 AF 的中点，点 N 为 EF 的中点， ∴ MN∥ AE，MN= AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠ B=∠ ADF，CE=CF，又 ∵ BC+CE=CD+CF，即 BE=DF，∴ △ ABE≌ △ ADF，∴ AE=AF，在 Rt△ ADF 中，∵ 点 M 为 AF 的 中点，∴ DM= AF，∴ DM=MN，∵ △ ABE≌ △ ADF，∴ ∠ 1=∠ 2，∵ AB∥ DF，∴ ∠ 1=∠ 3，同 理可证：∠ 2=∠ 4，∴ ∠ 3=∠ 4，∵ DM=AM，∴ ∠ MAD=∠ 5， ∴ ∠ DGE=∠ 5+∠ 4=∠ MAD+∠ 3=90°，∵ MN∥ AE，∴ ∠ DMN=∠ DGE=90°，∴ DM⊥MN．所 以（2）中的两个结论还成立.
【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出 CE=CF，继而证明出 △ ABE≌ △ ADF，得到 AE=AF，从而证明出△ AEF 是等腰三角形；（2）DM、MN 的数量关 系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置 关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角 相等即可得出结论；（3）成立，连接 AE，交 MD 于点 G，标记出各个角，首先证明出
EKF ≌ EDA 再证明 AEF是等腰直角三角形即可； ② 分两种情形 a、如图 ③ 中，当 AD AC 时，四边形 ABFD 是菱形.b 、如图 ④ 中当 AD AC时，四边形 ABFD 是菱形.分别求解即可.
【详解】
1 如图 ① 中，结论： AF 2AE ．
理由： 四边形 ABFD 是平行四边形，
【点睛】 四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平 行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决 问题．
2
2
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直
角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考
题型.
4．（1）如图 1，将矩形 ABCD 折叠，使 BC 落在对角线 BD 上，折痕为 BE ，点 C 落在 点 C 处，若∠ADB 42 ，则 DBE 的度数为______ .
作平行四边形 ABFD，连接 AF．
1 请直接写出线段 AF，AE 的数量关系； 2①将 CED 绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC 上时，如图 ② ，连接 AE，请判断
线段 AF，AE 的数量关系，并证明你的结论；
② 若 AB 2 5 ， CE 2，在图 ② 的基础上将 CED 绕点 C 继续逆时针旋转一周的过
角形的判定定理证出 DF=DG= 20 ，再由勾股定理求出 CF，可得 BF，再利用翻折不变性， 3
可知 FB′=FB，由此即可解决问题． 【详解】
（1）如图 1 所示：
∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴ ∠ ADB=∠ DBC=42°，
由翻折的性质可知，∠ DBE=∠ EBC= 1 ∠ DBC=21°， 2
程中，当平行四边形 ABFD 为菱形时，直接写出线段 AE 的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）① AF 2AE ② 4 2 或 2 2 .
【解析】
【分析】
1 如图 ① 中，结论： AF 2AE ，只要证明 AEF是等腰直角三角形即可； 2①如图 ② 中，结论： AF 2AE ，连接 EF，DF 交 BC 于 K，先证明
（算一算）如图 3，点 F 在这张矩形纸片的边 BC 上，将纸片折叠，使 FB 落在射线 FD 上，折痕为 GF ，点 A, B 分别落在点 A ， B 处，若 AG 7 ，求 BD 的长.
3
【答案】（1）21；（2）画一画；见解析；算一算： BD 3
【解析】 【分析】 （1）利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题；
∵ ∠ BAD=∠ ABC=60°，∴ AD∥ BC，即 FD∥ BC，∴ 四边形 BCFD 是平行四边形；
（2）解：在 Rt△ ABC 中，∵ ∠ BAC=30°，AB=6，∴ BC=AF=3，AC= 3 3 ，∴ S 平行四边形
BCFD=3× 3
3=9
3
，S△
ACF=
1 2
×3× 3
3 = 9 3 ，S = 平行四边形 ADBC 27 3 ．
BCFD 是平行四边形.
（2）在 Rt△ ABC 中，求出 BC，AC 即可解决问题；
【详解】
解：（1）证明：在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ CAB=30°，∴ ∠ ABC=60°，在等边△ ABD 中，
∠ BAD=60°，∴ ∠ BAD=∠ ABC=60°，∵ E 为 AB 的中点，∴ AE=BE，又∵ ∠ AEF=∠ BEC，
（2）【画一画】，如图 2 中，延长 BA 交 CE 的延长线由 G，作∠ BGC 的角平分线交 AD 于 M，交 BC 于 N，直线 MN 即为所求；
【算一算】首先求出 GD=9- 7 20 ，由矩形的性质得出 AD∥ BC，BC=AD=9，由平行线的 33
性质得出∠ DGF=∠ BFG，由翻折不变性可知，∠ BFG=∠ DFG，证出∠ DFG=∠ DGF，由等腰三
如图 ④ 中当 AD AC时，四边形 ABFD 是菱形，易知 AE AH EH 3 2 2 2 2 ，
综上所述，满足条件的 AE 的长为 4 2 或 2 2 ．
【点睛】 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行 四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找 全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．
MN∥ AE，MN= AE，利用三角形全等证出 AE=AF，而 DM= AF，从而得到 DM，MN 数量相 等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关 系得到∠ DMN=∠ DGE=90°．从而得到 DM、MN 的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB=AD=BC=CD，∠ B=∠ ADF=90°，∵ △ CEF 是等腰直角三角形，∠ C=90°，∴ CE=CF，∴ BC﹣CE=CD﹣CF，即 BE=DF， ∴ △ ABE≌ △ ADF，∴ AE=AF，∴ △ AEF 是等腰三角形；（2）DM、MN 的数量关系是相等， DM、MN 的位置关系是垂直；∵ 在 Rt△ ADF 中 DM 是斜边 AF 的中线，∴ AF=2DM，∵ MN 是△ AEF 的中位线，∴ AE=2MN，∵ AE=AF，∴ DM=MN；∵ ∠ DMF=∠ DAF+∠ ADM， AM=MD，∵ ∠ FMN=∠ FAE，∠ DAF=∠ BAE，∴ ∠ ADM=∠ DAF=∠ BAE， ∴ ∠ DMN=∠ FMN+∠ DMF=∠ DAF+∠ BAE+∠ FAE=∠ BAD=90°，∴ DM⊥MN；（3）（2）中的
∴ DF=DG= 20 ， 3
∵ CD=AB=4，∠ C=90°，
∴ 在 Rt△ CDF 中，由勾股定理得：CF=
DF 2 C
，
∴ BF=BC-CF=9 16 11 ， 33
由翻折不变性可知，FB=FB′= 11 ， 3
∴ B′D=DF-FB′= 20 11 3 . 33
AB / /DF ， DKE ABC 45 ， EKF 180 DKE 135 ， EK ED，
ADE 180 EDC 180 45 135 ， EKF ADE ，
DKC C ， DK DC ，
DF AB AC， KF AD ， 在 EKF 和 EDA 中， EK ED EKF ADE ， KF AD EKF ≌ EDA ， EF EA， KEF AED， FEA BED 90 ， AEF 是等腰直角三角形， AF 2AE ． ② 如图 ③ 中，当 AD AC 时，四边形 ABFD 是菱形，设 AE 交 CD 于 H，易知 EH DH CH 2 ， AH (2 5)2 ( 2)2 3 2 ， AE AH EH 4 2 ，
3．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ CAB=30°，以线段 AB 为边向外作等边△ ABD，点 E 是线段 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F．
（1）求证：四边形 BCFD 为平行四边形；（2）若 AB=6，求平行四边形 ADBC 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）S 平行四边形 ADBC= 27 3 ． 2
故答案为 21． （2）【画一画】如图所示：
【算一算】 如 3 所示：
∵ AG= 7 ，AD=9， 3
∴ GD=9- 7 20 ， 33
∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC，BC=AD=9， ∴ ∠ DGF=∠ BFG， 由翻折不变性可知，∠ BFG=∠ DFG， ∴ ∠ DFG=∠ DGF，
考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性 质．
2．如图 ① ，在等腰 Rt ABC 中， BAC 90 ，点 E 在 AC 上 ( 且不与点 A、C 重合 ) ， 在△ABC 的外部作等腰 Rt△CED ，使 CED 90 ，连接 AD，分别以 AB，AD 为邻边
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．操作与证明：如图 1，把一个含 45°角的直角三角板 ECF 和一个正方形 ABCD 摆放在一 起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 C 重合，点 E、F 分别在正方形的边 CB、CD 上， 连接 AF．取 AF 中点 M，EF 的中点 N，连接 MD、MN． （1）连接 AE，求证：△ AEF 是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断 MD、MN 的数量关系和位置关系，得出结论． 结论 1：DM、MN 的数量关系是 ； 结论 2：DM、MN 的位置关系是 ； 拓展与探究： （3）如图 2，将图 1 中的直角三角板 ECF 绕点 C 顺时针旋转 180°，其他条件不变，则 （2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．