【答案】（1） y x2 2x 3 0 x 3 ；（2）∠ AEC=105°；（3）边 BC 的长为
2 或 1 17 . 2
【解析】 试题分析：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H，得到四边形 ADCH 为矩形．在△ BAH 中，由勾股定 理即可得出结论． （2）取 CD 中点 T，连接 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET∥ AD，ET⊥CD， ∠ AET=∠ B=70°． 又 AD=AE=1，得到∠ AED=∠ ADE=∠ DET=35°．由 ET 垂直平分 CD，得∠ CET=∠ DET=35°，即 可得到结论． （3）分两种情况讨论：①当∠ AEC=90°时，易知△ CBE≌ △ CAE≌ △ CAD，得∠ BCE=30°， 解△ ABH 即可得到结论． ②当∠ CAE=90°时，易知△ CDA∽ △ BCA，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过 A 作 AH⊥BC 于 H．由∠ D=∠ BCD=90°，得四边形 ADCH 为矩形．
∴ FG＝DG，∴ BM＝FG， ∵ ∠ BAC＝∠ EAH＝45°，
∴ ∠ BAE＝∠ FAH，
∵ FG⊥AC，
∴ ∠ AFH＝90°，
在△ ABE 和△ AFH 中，
B AFH 90
AB
AF
，
BAE FAH
∴ △ ABE≌ △ AFH（ASA），
∴ BE＝FH， ∵ BM＝BE+EM，FG＝FH+HG，
②当∠ CAE=90°时，易知△ CDA∽ △ BCA，又 AC BC2 AB2 x2 4 ，
则 AD CA 1 x2 4 x 1 17 （舍负）
AC CB
x2 4
x
2
易知∠ ACE<90°，所以边 BC 的长为 1 17 ． 2
综上所述：边 BC 的长为 2 或 1 17 ． 2
（2）证明：延长 GF 交 BC 于 M，连接 AG，如图 2 所示：
则△ CGM 和△ CFG 是等腰直角三角形，
∴ CM＝CG，CG＝ 2 CF，
∴ BM＝DG，
∵ AF＝AB，
∴ AF＝AD，
在 Rt△ AFG 和 Rt△ ADG 中，
AG AG AF AD ，
∴ Rt△ AFG≌ Rt△ ADG（HL），
∴ AC＝ 2 AB＝4 2 ， ∵ 4AF＝3AC＝12 2 ，
∴ AF＝3 2 ， ∴ CF＝AC﹣AF＝ 2 ，
∵ EF⊥AC， ∴ △ CEF 是等腰直角三角形，
∴ EF＝CF＝ 2 ，CE＝ 2 CF＝2， 在 Rt△ AEF 中，由勾股定理得：AE＝ AF2 EF2 2 5 ， ∴ △ AEF 的周长＝AE+EF+AF＝ 2 5 2 3 2 2 5 4 2 ；
求证：EC＝HG+ 2 FC．
【答案】（1） 2 5 4 2 ；（2）证明见解析
【解析】 【分析】 （1）由正方形性质得出 AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ B＝∠ D＝90°，∠ ACB＝∠ ACD＝∠ BAC＝
∠ ACD＝45°，得出 AC＝ 2 AB＝4 2 ，求出 AF＝3 2 ，CF＝AC﹣AF＝ 2 ，求出△ CEF 是等腰直角三角形，得出 EF＝CF＝ 2 ，CE＝ 2 CF＝2，在 Rt△ AEF 中，由勾股定理求出
在△ BAH 中，AB=2，∠ BHA=90°，AH=y，HB= x 1 ，∴ 22 y2 x 12 ，
则 y x2 2x 3 0 x 3
（2）取 CD 中点 T，联结 TE，则 TE 是梯形中位线，得 ET∥ AD，ET⊥CD， ∴ ∠ AET=∠ B=70°． 又 AD=AE=1，∴ ∠ AED=∠ ADE=∠ DET=35°．由 ET 垂直平分 CD，得∠ CET=∠ DET=35°， ∴ ∠ AEC=70°＋35°=105°． （3）分两种情况讨论：①当∠ AEC=90°时，易知△ CBE≌ △ CAE≌ △ CAD，得∠ BCE=30°， 则在△ ABH 中，∠ B=60°，∠ AHB=90°，AB=2，得 BH=1，于是 BC=2．
BC BQ {C BQH 90 ， BH BH
∴ △ BCH≌ △ BQH（SAS）， ∴ CH=QH． ∴ △ PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8． ∴ △ PDH 的周长是定值． （3）解：如图 3，过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB．
【答案】（1） （2）2（3）S=S 菱形 PQMN=2S△ PNQ= t2；
（4）
t=1 或 【解析】 试题分析：（1）由题意知：当点 N 落在边 BC 上时，点 Q 与点 B 重合，此时 DQ=3； （2）当点 N 到点 A、B 的距离相等时，点 N 在边 AB 的中线上，此时 PD=DQ；
（3）当 0≤t≤ 时，四边形 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形为四边形 PQMN；当 ≤t≤ 时，四 边形 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形为五边形 PQFEN．
∴ EM＝HG，
∵ EC＝EM+CM，CM＝CG＝ 2 CF，
∴ EC＝HG+ 2 FC．
【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾 股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
5．在 ABC 中， AD BC 于点 D ，点 E 为 AC 边的中点，过点 A 作 AF / / BC ，交 DE 的延长线于点 F ，连接 CF ．
∴ 解得 t=
如图①，当 0≤t≤ 时，
S△ PNQ= PQ2= t2；
∴ S=S 菱形 PQMN=2S△ PNQ= t2，
如图②，当 ≤t≤ 时， 设 MN、MQ 与边 BC 的交点分别是 E、F， ∵ MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t， ∴ ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3， ∵ △ EMF 是等边三角形，
由（1）知∠ APB=∠ BPH， 又∵ ∠ A=∠ BQP=90°，BP=BP， 在△ ABP 和△ QBP 中，
APB BPH {A BQP 90 ， BP BP
∴ △ ABP≌ △ QBP（AAS）， ∴ AP=QP，AB=BQ， 又∵ AB=BC， ∴ BC=BQ． 又∠ C=∠ BQH=90°，BH=BH， 在△ BCH 和△ BQH 中，
∴ S△ EMF= ME2= （5t﹣3）2 ．
； （4）MN、MQ 与边 BC 的交点分别是 E、F，
此时 ＜t＜ ，
t=1 或
．
考点：几何变换综合题
3．如图，四边形 ABCD 中，∠ BCD=∠ D=90°，E 是边 AB 的中点.已知 AD=1，AB=2. （1）设 BC=x，CD=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠ B=70°时，求∠ AEC 的度数； （3）当△ ACE 为直角三角形时，求边 BC 的长.
又∵ EF 为折痕， ∴ EF⊥BP． ∴ ∠ EFM+∠ MEF=∠ ABP+∠ BEF=90°， ∴ ∠ EFM=∠ ABP．
又∵ ∠ A=∠ EMF=90°，
在△ EFM 和△ BPA 中，
EFM ABP
{EMF A ，
FM AB
∴ △ EFM≌ △ BPA（AAS）．
∴ EM=AP． 设 AP=x 在 Rt△ APE 中，（4-BE）2+x2=BE2．
当 0＜t＜ 时， 此时，PD=t，DQ=2t ∴ t=2t ∴ t=0（不合题意，舍去），
当 ≤t＜3 时， 此时，PD=t，DQ=6﹣2t ∴ t=6﹣2t， 解得 t=2； 综上所述，当点 N 到点 A、B 的距离相等时，t=2； （3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t 当点 M 在 BC 边上时， ∴ MN=BQ ∵ PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t ∴ 3t=3﹣2t
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合），将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H， 折痕为 EF，连接 BP、BH．
（1）求证：∠ APB=∠ BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，求证：△ PDH 的周长是定值； （3）当 BE+CF 的长取最小值时，求 AP 的长． 【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2． 【解析】 试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠ PBC=∠ BPH，进而利用平行线的性质得出 ∠ APB=∠ PBC 即可得出答案； （2）首先证明△ ABP≌ △ QBP，进而得出△ BCH≌ △ BQH，即可得出 PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8； （3）过 F 作 FM⊥AB，垂足为 M，则 FM=BC=AB，证明△ EFM≌ △ BPA，设 AP=x，利用折 叠的性质和勾股定理的知识用 x 表示出 BE 和 CF，结合二次函数的性质求出最值． 试题解析：（1）解：如图 1，
AE，即可得出△ AEF 的周长； （2）延长 GF 交 BC 于 M，连接 AG，则△ CGM 和△ CFG 是等腰直角三角形，得出 CM＝
CG，CG＝ 2 CF，证出 BM＝DG，证明 Rt△ AFG≌ Rt△ ADG 得出 FG＝DG，BM＝FG，再证
明△ ABE≌ △ AFH，得出 BE＝FH，即可得出结论． 【详解】 （1）∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ B＝∠ D＝90°，∠ ACB＝∠ ACD＝∠ BAC＝∠ ACD＝45°，
（4）MN、MQ 与边 BC 的有交点时，此时 ＜t＜ ，列出四边形 PEMF 与四边形 PQMN 的 面积表达式后，即可求出 t 的值． 试题解析：（1）∵ △ PQN 与△ ABC 都是等边三角形， ∴ 当点 N 落在边 BC 上时，点 Q 与点 B 重合． ∴ DQ=3 ∴ 2t=3．