跟踪训练 1 (1)已知函数 f(x)＝x2＋2x－5 的图像上的一点 A(－1，－6)及邻近
一点 B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则ΔΔxy＝__Δ_x__.
解析 ΔΔyx＝f－1＋ΔΔxx－f－1
－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6
＝
Δx
＝Δx.
(2)求函数y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝
3 达标检测
PART THREE
1.已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增 量之比是函数 A.在x0处的变化率
√B.在区间[x0，x1]上的平均变化率
C.在x1处的变化率 D.以上结论都不对 解析 ΔΔyx＝fxx11－ －fx0x0，由平均变化率的定义可知，故选 B.
2.作用：刻画函数在 一点处 变化的快慢.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1， Δy＝f(x2)－f(x1)，则 1.Δx可正，可负，可为零.( × ) 2.函数 y＝f(x)的平均变化率为ΔΔxy＝fxx22－ －fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.( √ ) 3.函数 y＝f(x)的平均变化率为ΔΔxy＝fxx11－ －fx2x2＝fx2－－ΔxΔ－x fx2.( √ ) 4.当 Δx 趋于 0 时，ΔΔxy就趋于函数在 x1 处的瞬时变化率.( √ )
2 题型探究
PART TWO
题型一 函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝x2在x分别从1到1＋Δx,2到2＋Δx,3到3＋Δx的平均变化率，
当Δx都为
1 3
时，哪一点附近的平均变化率最大？
反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1.
为f(x2)，它的平均变化率为 x2－x1 . 其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作 Δx ，函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作 Δy .这样，函数的平均变化率就可以 表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1. 2.作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
1 2
时平均变化率的值.
解 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)3－x30
＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴函数y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为
ΔΔyx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2. 当 x0＝1，Δx＝12时， 平均变化率的值为 3×12＋3×1×21＋212＝149.
题型二 求函数的瞬时变化率
例2 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s＝v0t
－
1 2
gt2，求物体在t0时刻处的瞬时速度.
解 因为 Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20
＝(v0－gt0)Δt－21g(Δt)2，
知识点二 瞬时变化率
1.定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中，若设 Δx
＝
x
1
－
x
0
，
Δ
y
＝
f
(
x
1
)
－
f
(
x
0
)
，
则
函
数
的
平
均
变
化
率
是
Δy Δx
＝
fx1－fx0 x1－x0
＝
fx0＋ΔΔxx－fx0.而当Δx趋于0 时，平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率.源自的瞬时速度为零，则相应的时刻为
A.t＝1
√B.t＝2
C.t＝3
D.t＝4
解析 设此物体在t0时刻的瞬时速度为0，
ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝－8t0＋16－4Δt， 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于－8t0＋16，
令－8t0＋16＝0，解得t0＝2.
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28π 4.球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____3____. 解析 ∵Δy＝43π×23－43π×13＝238π， ∴球的体积平均膨胀率为ΔΔxy＝238π.
所以ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt.
当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 v0－gt0，
故物体在t0时刻处的瞬时速度为v0－gt0.
反思感悟 1.求瞬时速度的步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0). (2)求平均速度 v＝ΔΔst. (3)当 Δt 趋于 0 时，平均速度ΔΔst趋于瞬时速度. 2.求当 Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔyx的值
当x0＝2，Δx＝
1 2
时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为
k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；
当x0＝3，Δx＝
1 2
时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为
k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k1<k2<k3.
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课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点 处变化的快慢. 2.可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义.
(1)在表达式中，可把Δx作为一个数来参加运算. (2)求出ΔΔyx的表达式后，Δx 无限趋近于 0，就是令 Δx＝0，求出结果即可.
跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间 单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数s(t)在t＝2处的瞬时变化率. ∵质点M在t＝2附近的平均变化率 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt， 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 4a， ∴4a＝8，得a＝2.
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2.一物体的运动方程是s(t)＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是
A.0.4
√B.2
C.0.3
D.0.2
s2.1－s2 3＋2×2.1－3＋2×2
解析
＝
2.1－2
0.1
＝2.
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3.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s(t)＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻
第三章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念. 2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 函数的平均变化率
1.定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变 fx2－fx1
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5.设函数f(x)＝3x2＋2在x0＝1,2,3附近Δx取 12时的平均变化率分别为k1，k2，k3， 比较k1，k2，k3的大小.
解 函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.
当x0＝1，Δx＝
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时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为
k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；