解 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0).
则ab4122＝＝11，，
a2＝4， 解得
b2＝1，
∴所求椭圆的标准方程为x42＋y2＝1.
题型三 椭圆中焦点三角形问题
例3 (1)已知P是椭圆 y52＋x42＝1 上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝ 30°，求△F1PF2的面积；
(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；
解 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
9A＋4B＝1， 则
25A＋B＝1，
解得BA＝＝1993611.，
故所求椭圆的标准方程为9x12 ＋9y12 ＝1. 3 16
(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1).
2 题型探究
PART TWO
题型一 椭圆定义的应用
例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切 且过P点，判断圆心M的轨迹. 解 方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半 径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭 圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|， 所以动点M的轨迹是椭圆.
解析 ① 2 <2，故点P的轨迹不存在； ②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2； ③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 (y轴).
题型二 求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
解 设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，
∵A(－ 2，2)和 B( 3，1)两点在椭圆上，
∴2m＋4n＝1， m＋n＝1， 解得m＝130，
2m＋4n＝1， ∴
3m＋n＝1，
解得mn＝＝111300.，
∴椭圆的标准方程为1x02 ＋1y02 ＝1. 3
反思感悟 椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视. 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量. 常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是 否为椭圆的限制条件.
跟踪训练1 下列命题是真命题的是_②__.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝ 2 的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
√C.± 65，0
解析 椭圆的方程为x12＋y12＝1， 49
则
c2＝14－19＝356，c＝
5 6.
∴其焦点坐标为± 65，0.
B.(0，± 5) D.±356，0
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3.设 α∈0，π2，方程sixn2α＋coys2 α＝1 是表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 α 的取值
故所求点 P 的轨迹方程为x42＋y32＝1.
(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积.
解 设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4. 在△PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2， ∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 60°)，解得mn＝4. ∴S△PF1F2 ＝12mnsin∠F1PF2＝12×4sin 60°＝ 3.
(3)经过点 P13，13，Q0，－21.
反思感悟 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待 定系数即可.即“先定位，后定量”. 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行 分类讨论，但要注意a>b>0这一条件. (3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含 字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.
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4.已知椭圆xm2＋1y62 ＝1 上一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3，到另一个焦点 的距离为 7，则 m＝_2_5_. 解析 由椭圆的定义知，3＋7＝2a，得a＝5，则m＝a2＝25.
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5.焦点在坐标轴上，且经过 A(－ 2，2)和 B( 3，1)两点，求椭圆的标准方程.
3 达标检测
PART THREE
1.已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨
迹是
A.椭圆
B.直线
C.圆
√D.线段
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|， ∴点M的轨迹是线段F1F2.
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2.椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是 A.(± 5，0)
解 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)， 由椭圆的定义知，2a＝ －232＋25＋22＋ 即 a＝ 10，
－232＋25－22＝2 10，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6， 所以所求椭圆的标准方程为1y02 ＋x62＝1.
又∵0°＜∠F1PF2＜180°， ∴∠F1PF2＝120°.
反思感悟 在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个 点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这 个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数. 在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及 三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来 求解.
图形
焦点坐标
__F_1_(－__c_,_0_)，__F__2(_c_,0_)_
__F_1_(_0_，__－__c)_，__F_2_(_0_，__c_) _
a，b，c的关系
___c2_＝__a_2_－__b_2 __
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.平面内与两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × ) 2.椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为定值.( √ ) 3.已知长、短轴长，椭圆的标准方程有两个，因为焦点在不同的坐标轴上， 其标准方程不同.( √ )
(2)已知椭圆 x92＋y22＝1 的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，求∠F1PF2 的大小. 解 由x92＋y22＝1，知 a＝3，b＝ 2 ∴c＝ 7， ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， ∴cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2＝－21，
n＝110.
12345课堂小结Fra bibliotekKETANGXIAOJIE
1. 平 面 内 到 两 定 点 F1 ， F2 的 距 离 之 和 为 常 数 ， 即 |MF1| ＋ |MF2| ＝ 2a ， 当 2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2| 时，轨迹不存在. 2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解， 也可以通过椭圆的定义进行求解. 3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标 准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0， B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.
解 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0). 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以aa0422＋＋bb1022＝＝11，，
a2＝4， 所以
b2＝1.
所以所求的椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于 定长(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫 做椭圆，这两个 定点 F1，F2叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离 |F1F2|叫做 椭圆的焦距.
知识点二 椭圆的标准方程
标准方程
焦点在x轴上 ax22＋by22＝1(a>b>0)
焦点在y轴上 ay22＋bx22＝1(a>b>0)
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距 离之和等于10； 解 设其标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0). 则2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
跟踪训练3 已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|. (1)求点P的轨迹方程； 解 依题意知|F1F2|＝2， |PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|， ∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆， 且 2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝ 3，
核心素养之数学运算
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
待定系数法求椭圆的标准方程
典例 求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－ 2)和－1， 214的椭圆的标准方程.
素养评析 通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题 过程，减少数学运算，提高解题效率.这也正是数学运算策略升级的有力 佐证.