2020年最新九年级下册期末测试题一、选择题(共8道小题，每小题4分，共32分)1．若方程x 2－5x ＝0的一个根是a ，则a 2－5a ＋2的值为( ) A ．－2B ．0C ．2D ．42．如图，⊙O 的半径OA 等于5，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为D ， 若OD ＝3，则弦AB 的长为( ) A ．10B ．8C ．6D ．43．将抛物线y ＝2x 2经过怎样的平移可得到抛物线y ＝2(x ＋3)2＋4?( ) A ．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 B ．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位 C ．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位 D ．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位4．小莉站在离一棵树水平距离为a 米的地方，用一块含30°的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她测得这棵树的高度为( )A ．m )33(aB ．m )3(aC ．m )335.1(a + D ．m )35.1(a +5．如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE ， 记△AOB 与△CDE 对应边的比为k ，则位似中心的坐标和k 的值 分别为( ) A ．(0，0)，2 B ．21),2,2( C ．(2，2)，2D ．(2，2)，36．将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 族转180°，则族转后的抛物线的解析式为：( ) A ．y ＝－x 2B ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝x 2－1D ．y ＝－x 2－17．如图，PA 、PB 与⊙O 相切，切点分别为A 、B ，PA ＝3，∠P ＝60°，若AC 为⊙O 的直径，则图中阴影部分的面积为( ) A ．2π B ．6π3C ．3π3D ．π8．已知b >0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象如下列四个图之一所示．根据图分析，a 的值等于．．．．( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2二、填空题(共4道小题，每小题4分，共16分)9．若△ABC ∽△DEF ，且对应边BC 与EF 的比为2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积等于______． 10．如图，⊙O 的直径是AB ，CD 是⊙O 的弦，基∠D ＝70°，则∠ABC 等于______．11．如图，∠ABC ＝90°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，OB 21长为半径作⊙O ，将射线BA绕点B 按顺时针方向旋转至BA ＇，若BA ＇与⊙O 相切，则旋转的角度 (0°＜＜180°)等于______．12．等腰△ABC 中，BC ＝8，若AB 、AC 的长是关于x 的方程x 2－10x ＋m ＝0的根，则m 的值等于______． 三、解答题(本题共29分，第13～17题每小题5分，第18题4分)13．解方程：2x 2－6x ＋1＝0． 14．计算：o 245sin 45tan 30sin 60cos +︒-︒ο15．已知：关于x 的方程x 2＋2x ＝3－4k 有两个不相等的实数根(其中k 为实数)．(1)求k 的取值范围；(2)若k 为非负整数，求此时方程的根．16．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠B ＝30°，延长BA 到D ，使∠ADC ＝30°．(1)求证：DC 是⊙O 的切线； (2)若AB ＝2，求DC 的长．17．已知：如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1．(1)求证：△ABD ∽△CBA ；(2)若DE ∥AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与△ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长．18．已知：如图，∠MAN ＝45°，B 为AM 上的一个定点．若点P 在射线AN 上，以P 为圆心，PA 为半径的圆与射AN 的另一个交点为C ．请确定⊙P 的位置，使BC 恰与⊙P 相切． (1)画出⊙P ；(不要求尺规作图，不要求写画法) (2)连结BC 、BP 并填空： ①∠ABC ＝______°；②比较大小：∠ABP ______∠CBP (填“＞”、“＜”或“＝”)．四、解答题(本题共21分，第19题6分，第20题4分，第21题6分，第22题5分)19．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (0，3)、B (4，3)、C (1，0)．(1)填空：抛物线的对称轴为直线x ＝______，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为______； (2)求该抛物线的解析式．20．已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝BC ，AE ⊥BC 于E ，EF ⊥AB 于F ，若CE ＝2，54cos =∠AEF ，求EF 的长．21．某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．(1)如果市场某天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠．．．．．．．．．．，那么每千克这种水果涨了多少元?(2)设每千克这种水果涨价x 元时(0＜x ≤25)，市场每天销售这种水果所获利润为y 元．若不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元时，市场每天销售这种水果盈利最多?最多盈利多少元?22．已知：如图，△ABC 中，AB ＝3，∠BAC ＝120°，AC ＝1，D 为AB 延长线上一点，BD ＝1，点P在∠BAC 的平分线上，且满足△PAD 是等边三角形． (1)求证：BC ＝BP ；(2)求点C 到BP 的距离．五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23．已知关于x 的方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0，其中a 、b 为实数．(1)若此方程有一个根为2a (a ＜0)，判断a 与b 的大小关系并说明理由； (2)若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．24．已知：如图，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ABC ＝15°，AD ∥OC 并交BC 的延长线于D ，OC 交AB 于E ．(1)求∠D 的度数；(2)求证：AC 2＝AD ·CE ；(3)求CDBC的值．25．已知：抛物线)2(3)1(32322a a x a x y -----=与x 轴交于点A (x 1，0)、B (x 2，0)，且x 1＜1＜x 2．(1)求A 、B 两点的坐标(用a 表示)； (2)设抛物线的顶点为C ，求△ABC 的面积；(3)若a 是整数，P 为线段AB 上的一个动点(P 点与A 、B 两点不重合)，在x 轴上方作等边 △APM 和等边△BPN ，记线段MN 的中点为Q ，求抛物线的解析式及线段PQ 的长的取值范围．答案与提示 期末检测题(三)一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBACCDAB二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)题号 9 10 1112答案4∶920°60°或120°(各2分)16或25(各2分)三、解答题(本题共29分，第13～17题每小题5分，第18题4分)13．解：因为a ＝2，b ＝－6，c ＝1，1分 所以b 2－4ac ＝(－6)2－4×2×1＝28．2分代入公式，得aacb b x 242-±-=3分⋅±=±=⨯±=273472622286 所以原方程的根为⋅-=+=273,27321x x (每个根各1分)5分14．解：οοοο45sin 45tan 30sin 60cos 2+- 2)22(12121+-=4分⋅=215分 15．(1)解一：原方程可化为(x ＋1)2＝4－4k ．1分∵该方程有两个不相等的实数根， ∴4－4k ＞0． 2分解得k ＜1．∴k 的取值范围是k ＜1．3分 解二：原方程可化为x 2＋2x ＋4k －3＝0．1分＝22－4(4k －3)＝4(4－4k )．以下同解法一．(2)解：∵k 为非负整数，k ＜1，∴k ＝0．4分 此时方程为x 2＋2x ＝3，它的根为x 1＝－3，x 2＝1．5分16．(1)证明：连结OC ．∵OB ＝OC ，∠B ＝30°， ∴∠OCB ＝∠B ＝30°． ∴∠COD ＝∠B ＋∠OCB ＝60°．1分∵∠BDC ＝30°，∴∠BDC ＋∠COD ＝90°，DC ⊥OC ．2分∴BC 是弦， ∴点C 在⊙O 上． ∴DC 是⊙O 的切线．3分(2)解：∵AB ＝2，.12===∴ABOB OC 4分∵在Rt △COD 中，∠OCD ＝90°，∠D ＝30°， ∴.33==OC DC5分17．(1)证明：∵AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，⋅=∴BABDCB AB 1分 ∵∠ABD ＝∠CBA ， 2分 ∴△ABD ∽△CBA ．3分(2)答：△ABD ∽△CDE ；4分DE ＝ 1.5 .5分18．解：(1)图形见下．2分 (2)①∠ABC ＝ 45° ； 3分 ②∠ABP ＜ ∠CBP ．4分四、解答题(本题共21分，第19题6分，第20题4分，第21题6分，第22题5分)19．解：(1)抛物线的对称轴为直线x ＝ 2 ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为(3，0)；2分(2)∵抛物线经过点C (1，0)、D (3，0)，∴设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)(x －3)． 4分由抛物线经过点A (0，3)，得a ＝1． 5分 ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．6分20．解：∵AE ⊥BC ，EF ⊥AB ，∴∠1＋∠2＝90°，∠B ＋∠2＝90°． ∴∠1＝∠B ．1分∴,54cos =∠AEF ∴Rt △ABE 中，⋅==54cos AB BE B2分设BE ＝4k ，则AB ＝BC ＝5k ，EC ＝BC －BE ＝k ＝2． ∴BE ＝8．3分∴Rt △BEF 中，⋅=⨯=⋅=524538sin B BE EF 4分21．解：(1)设市场某天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了x 元．由题意得(10＋x )(500－20x )＝6000． 1分整理，得x 2－15x ＋50＝0． 解得x 1＝5，x 2＝10．2分 因为顾客得到了实惠，应取x ＝5．3分答：市场某天销售这种水果盈利6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了5元．(2)因为每千克这种水果涨价x 元时，市场每天销售这种水果所获利润为y 元，y 关于x 的函数解析式为y ＝(10＋x )(500－20x )(0＜x ≤25)．4分而y ＝(10＋x )(500－20x )＝－20x 2＋300x ＋5000＝－20(x －7.5)2＋6125． 所以，当x ＝7．5时(0＜7．5≤25)，y 取得最大值，最大值为6 125．6分答：不考虑其他因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6 125元．22．(1)证明：如图1，连结PC ．1分图1∵AC ＝1，BD ＝1， ∴AC ＝BD ． ∵∠BAC ＝120°，AP 平分∠BAC ，.60211ο=∠=∠∴BAC ∵△PAD 是等边三角形， ∴PA ＝PD ，∠D ＝60°． ∴∠1＝∠D ． ∴△PAC ≌△PDB ．2分∴PC ＝PB ，∠2＝∠3．∴∠2＋∠4＝∠3＋∠4，∠BPC ＝∠DPA ＝60°． ∴△PBC 是等边三角形，BC ＝BP ．3分证法二：作BM ∥PA 交PD 于M ，证明△PBM ≌△BCA ． (2)解法一：如图2，作CE ⊥PB 于E ，PF ⊥AB 于F ．图2∵AB ＝3，BD ＝1， ∴AD ＝4． ∵△PAD 是等边三角形，PF ⊥AB ，,221==∴AD DF .3260sin =⋅=οPD PF∴BF ＝DF －BD ＝1， .1322=+PF BF BP4分 ⋅=⨯=⋅=⋅=∴239231360sin 60sin οοBP BC CE 5分即点C 到BP 的距离等于⋅239解法二：作BN ⊥DP 于N ，BP BN DN DP NP DN ,23,27,21==-==.1322=+=NP BN以下同解法一．五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23．解：(1)∵方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0有一个根为2a ，∴4a 2－4a 2－a ＋2b ＝0． 1分 整理，得⋅=2a b2分 ∵a ＜0，,2aa <∴即a ＜b ．3分 (2)＝4a 2－4(－a ＋2b )＝4a 2＋4a －8b ．4分∵对于任何实数a ，此方程都有实数根．∴对于任何实数a ，都有4a 2＋4a －8b ≥0，即a 2＋a －2b ≥0 5分∴对于任何实数a ，都有⋅+≤22aa b,81)21(21222-+=+a a a Θ当21-=a 时，22a a +有最小值⋅-816分∴b 的取值范围是⋅-≤81b24．(1)解：如图3，连结OB ．1分图3∵⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC ＝45°， ∴∠BOC ＝2∠BAC ＝90°． ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°． ∵AD ∥OC ，∴∠D ＝∠OCB ＝45°．2分(2)证明：∵∠BAC ＝45°，∠D ＝45°，∴∠BAC ＝∠D ．3分∵AD ∥OC ，∴∠ACE ＝∠DAC ．4分 ∴△ACE ∽△DAC ． ⋅=∴ACCE DA AC ∴AC 2＝AD ·CE ． 5分(3)解法一：如图4，延长BO 交DA 的延长线于F ，连结OA ．图4∵AD ∥OC ，∴∠F ＝∠BOC ＝90°．∵∠ABC ＝15°，∴∠OBA ＝∠OBC －∠ABC ＝30°．∵OA ＝OB ．∴∠FOA ＝∠OBA ＋∠OAB ＝60°，∠OAF ＝30°． ∴OA OF 21=． ∵AD ∥OC ，∴△BOC ∽△BFD ．⋅=∴BFBO BD BC ,2===∴OF OA OF BO CD BC 即CD BC 的值为2． 7分 解法二：作OM ⊥BA 于M ，设⊙O 的半径为r ，可得,2,33r OM r BM == ,33,332,6330tan ,30r AE r BE r OM ME MOE ===⋅==∠οο 所以.2==EABE CD BC25．解：(1)∵抛物线与x 轴交于点A (x 1，0)、B (x 2，0)，∴x 1、x 2是关于x 的方程0)2(3)1(32322=-----a a x a x 的解． 方程可简化为x 2＋2(a －1)x ＋(a 2－2a )＝0．解方程，得x ＝－a 或x ＝－a ＋2． 1分 ∵x 1＜x 2，－a ＜－a ＋2，∴x 1＝－a ，x 2＝－a ＋2．∴A 、B 两点的坐标分别为A (－a ，0)，B (－a ＋2，0)．2分 (2)∵AB ＝2，顶点C 的纵坐标为,3 3分 ∴△ABC 的面积等于.34分 (3)x 1＜1＜x 2， ∴－a ＜1＜－a ＋2．∴－1＜a ＜1． 5分 ∵a 是整数，∴a ＝0，所求抛物线的解析式为y ＝.3232x x +- 6分 解法一：此时顶点C 的坐标为).3,1(C如图5，作CD ⊥AB 于D ，连结CQ ．图5则AD ＝1，.3tan ,3=∠=BAC CD∴∠BAC ＝60°．由抛物线的对称性可知△ABC 是等边三角形．由△APM 和△BPN 是等边三角形，线段MN 的中点为Q 可得，点 M 、N 分别在AC 和BC 边上，四边形PMCN 为平行四边形，C 、Q 、P 三点共线，且.21PC PQ =7分 ∵点P 在线段AB 上运动的过程中，P 与A 、B 两点不重合，,2,3,==<≤AC DC AC PC DC.123<≤∴PQ 8分 解法二：设点P 的坐标为P (x ，0)(0＜x ＜2)．如图6，作MM 1⊥AB 于M 1，NN 1⊥AB 于N 1．图6∵△APM 和△BPN 是等边三角形，且都在x 轴上方，∴AM ＝AP ＝x ，BN ＝BP ＝2－x ，∠MAP ＝60°，∠NBP ＝60°．,2cos 1x MAB AM AM =∠⋅=∴ ,23sin 1x MAB AM MM =∠⋅= ,22cos 1x NBP BN BN -=∠⋅= ⋅-=∠⋅=2332sin 1x NBP BN NN ⋅+=--=-=∴2222211x x BN AB AN ∴M 、N 两点的坐标分别为).2332,22(),23,2(x x N x xM -+ 可得线段MN 的中点Q 的坐标为).23,21(+x Q 由勾股定理得.3)1(21)23()21(222+-=++-=x x x PQ 7分 ∵点P 在线段AB 上运动的过程中，P 与A 、B 两点不重合，0＜x ＜2， ,123.43)1(32<≤∴<+-≤∴PQ x 8分。