T x T 0
A sin( t ) sin[ ( t ) ] dt 令ωt+υ=θ,则dt=dθ/ω,由此得
0
1 T0
T0
正弦函数的自相关函数是一个与原函数具有相同
0
A2 Rx ( ) 2
2
A2 sin sin( )d cos 2
T 2 R x x
T 0
（2.149）
（2.150）
1 其中 R x Tlim T
x t x t dt
称为x(t)的自相关(auto-correlation)函数。
周期函数的自相关函数仍为周期函数，且两
者的频率相同，但丢掉了相角信息。 同频相关，不同频不相关。
2.2.7.4 功率谱(power spectrum)分析
一、自功率谱密度函数 二、巴塞伐尔（Parseval）定理 三、互功率谱密度函数 四、自谱和互谱的估计 五、工程应用
一、自功率谱密度函数
设x(t)为一零均值的随机过程，且x(t)中 无周期性分量，则其自相关函数Rx(τ)在当 τ→∞时有
Rx ( ) 0

f 0
（2.180）
自谱是f的实函数，而互谱则为f的复函数，实部 Cxy(f)称为共谱(cospectrum)，虚部Qxy(f)称为重谱 (quad spectrum)，即
G xy f C xy f jQ xy f

（2.181）
写为幅频和相频的形式：
G f G f e j xy f xy xy 2 2 G xy f C xy f Q xy f Q xy f xy f arctg C xy f
2.2.7.3 相关分析
一、相关 二、互相关函数与自相关函数 三、相关函数的工程意义及应用
一、相关(correlation)
相关：用来描述一个随机过程自身在不同时 刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻 状态间线性依从关系的数字特征。
图2.52 变量x和y的相关性 （a）精确相关 （b）中等程度相关 （c）不相关
二、互相关函数与自相关函数
对于各态历经过程，可定义时间变量x(t)和y(t) 的互协方差(cross-covariance)函数为
C xy E x t x y t y


1 T lim x t x y t x dt T T 0 R xy x y
（2.177） （2.178）
因此互谱和幅值谱的关系为 1 S xy f lim Y f X * f T
T
正如Ryx(τ)≠Rxy(τ)一样，当x和y的顺序调换 时，Syx(τ)≠Sxy(τ) 。但根据Rxy(-τ)=Ryx(τ) 及维纳— 辛钦关系式，不难证明：
其中
* f S yx f S xy f S xy

（2.179）
1 S xy f lim X ( f ) Y * ( f ) t T
Sxy(f)也是含正、负频率的双边互谱，实用中 也常取只含非负频率的单边互谱Gxy(f)，由此规定
G xy f 2 S xy f
号的平均功率； Sx(f)就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布， 故也称为功率谱。
二、巴塞伐尔（Parseval）定理
设有变换对：
x(t ) X ( f ) h(t ) H ( f )
按频域卷积定理有
x(t )h(t ) X ( f ) * H ( f )
x ( t ) h ( t ) e dt X ( f ) H ( k f ) df 令k=0，有 x ( t ) h ( t ) dt X ( f ) H ( f ) df 又令h(t)=x(t)，得 x ( t ) dt X ( f ) X ( f ) df
Gx(f)的图形如图2.59 中所示。
根据信号功率（或能量）在频域中的分
布情况，将随机过程区分为窄带随机、 宽带随机和白噪声等几种类型。 窄带过程的功率谱（或能量）集中于某 一中心频率附近，宽带过程的能量则分 布在较宽的频率上，而白噪声过程的能 量在所分析的频域内呈均匀分布状态。
三、互功率谱密度函数
Rxy ( ) S xy ( f )
IFT FT
因此Sxy(f)的傅里叶逆变换为：
R xy

S xy f e j 2 f df
（2.176）
定义信号x(t)和y(t)的互功率为
1 T2 P lim T x t y t dt T T 2 1 lim Y f X * f df T T
三、相关函数的工程意义及应用
不同类别信号的辨识
图2.55 典型信号的自相关函数
相关滤波(filtering by correlation)
图4.79 相关滤波频谱分析仪原理框图
相关测速和测距
图2.56 相关法测量声传播距离
图2.57 带钢测速系统
测量流速和流量
图2.58 相在法测定流量
2.2.7.4 功率谱分析
评价变量x和y间线性相关程度的经典方法：

协方差σxy： E x y 1 lim x y
xy x y N N
N
i 1
i
x
i
y

（2.142）
式中，E表示数学期望值； μx=E[x]为随机变量x的均值； μy=E[y]为随机变量y的均值；
（2.160） （2.161）
具有限个数据点N的相关函数估计的数字处 理表达式则为： N 1 1 ˆ r x n x n r （2.162） R x N
n o
N 1 1 ˆ r x n y n r R xy N n o
ห้องสมุดไป่ตู้
（2.163）
r 0,1,2,, r N
（2.147）
式中 称x(t)与y(t)的互相关(cross-correlation)函数，自变 量τ称为时移。
1 R xy lim T T
x t y t dt
T 0
（2.148）
当y(t) ≡x(t)时，得自协方差(auto-covariance) 函数 1 T C x lim x t x x t x dt 0 T
该自相关函数 R ( τ ) 满足傅里叶变换的条 x 件 Rx ( ) d 。对作傅里叶变换可得
S x f R x e j 2 f d

（2.167）
其逆变换为
R x S x f e j 2 f df


（2.168）
1 S x f lim x f T T

2
（2.172）
对于单边功率谱 G(f) 也应满足巴塞伐 尔定理，故有
P S x f df G x f df

（2.173）
由此规定
G x ( f ) 2S x ( f ) f 0
图2.59 单边功率谱和双边 功率谱
五、工程应用
1. 求取系统的频响(frequency response)函数
线性系统的传递函数H(s)或频响函数H(jω) 十分重要，在机器故障诊断等多个领域常要用 到它。 例1：机器由于其轴承的缺陷而在机器运行中 会造成冲击脉冲信号，此时若用安装在机壳 外部的加速度传感器来接收时，必须考虑机 壳的传递函数。 例2：当信号经过一个复杂系统被传输时，系 统各环节的传递函数便必须要加以考虑。
图2.53 典型的自相关函数和互相关函数曲线
(a)自相关函数 （b）互相关函数
例1 求正弦函数x(t)=Asin(ωt+υ)的自相关函数。 解：正弦函数x(t)是一个均值为零的各态历经随机过 程，其各种平均值可用一个周期内的平均值来表示。 1 R ( ) lim x ( t ) x ( t ) dt T
图2.59 单边功率谱和双边 功率谱
当τ=0时，根据自相关函数Rx(τ)和自功 率谱密度函数Sx(f)的定义，可得
1 R x 0 lim T T
T 2 T 2
x 2 t dt

S x f df
（2.169）
Sx(f)曲线下面和频率轴所包围的面积即为信
j 2 kt




2



x(t)为实函数，故X(-f)=X*(f)，于是有


x 2 t dt X f X * f df




Xf
2 df
（2.170）
巴塞伐尔定理：信号在时域中计算的总
能量等于它在频域中计算的总能量。
式（2.170）又称信号能量等式。|X(f)|2称能 量谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整 个时间轴上信号的平均功率可计算为 T 1 2 2 1 2 P lim T x t dt lim x f df （2.171） T T T T 2 自谱密度函数与幅值谱之间的关系为
若互相关函数 Rxy(τ)满足傅里叶变换的 条件 Rxy ( ) d ，则定义Rxy(τ)的傅里叶 变换 j 2 ft S xy df （2.175） R xy e 为信号x(t)和y(t)的互功率谱密度函数，简称 互谱密度函数(cross power spectrum)或互谱。 根据维纳—辛钦关系，互谱与互相关函 数也是一个傅里叶变换对，即

相关函数ρxy：