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2019年4月清华大学标准能力测试(数学)(附详细解答)

2019年4月清华大学标准能力测试(数学)(附详细解答)‘详细解答:1.答案:ACF解析:点222)(),(a a a A a a P ⋅≤⇔∈01212≥+-⇔))((a a a 021≤≤-⇔a 或21≥a ; 点a a a B a a P 122222≥-⇔∈)(),(04≥-⇔)(a a 0≤⇔a 或4≥a ; 点a a a C a a P 254222≤+⇔∈),(05≤-⇔)(a a ≤⇔05≤a ;将六个选项逐一代入检验,可知6.25,2.5,-0.375恰好属于C B A ,,中的两个集合。

2.答案:DF解析:⎩⎨⎧≥=+⇔=,,||)(0340x ax x f 或⎩⎨⎧<=-.,||054x ax ⎩⎨⎧≥--=⇔,,01或7x ax 或⎩⎨⎧<-=,,01或9x ax 1-=⇔ax 或⎩⎨⎧≥-=,,07x ax 或⎩⎨⎧<=.,09x ax 当n a=时,不确定有几个零点,不合题意;当2-=x a 时,⎩⎨⎧<=-⎩⎨⎧≥-=--=-⇔=,,)(,,)()()(092或072或120x x x x x x x x x f 1=⇔x 或101-,不合题意;当0=a 时,无零点,不合题意;当32-=a 时,2-3=⇔x 或)2-3(7=x 或)2-3(9-=x ,符合题意;当32+-=x a 时,方程012312=+-+⇔-=x x ax )(,0621<-=∆,无实根;方程072372=+-+⇔-=x x ax )(,06223<--=∆,无实根;方程092392=--+⇔=x x ax )(,恰有一个负实根,不合题意;当32--=x a 时,方程012312=++-⇔-=x x ax )(,0621>+=∆,方程有两不相等的实根;方程072372=++-⇔-=x x ax )(,02362<-=∆,无实根;方程092392=-+-⇔=x x ax )(,恰有一个负实根,符合题意;综上所述,正确选项为DF .3.答案:A解析:由题意,可设))()(()(04522≠+++-=a c bx x x x a x f ,则))(())(()('b x x x a c bx x x a x f ++-+++-=2455222,因为452+-x x 是)('x f 的因式,所以只有可能45=22+-++x x c bx x,即)()()(04522≠+-=a x x a x f ,))(()('45-5222+-=x x x a x f ,故133-=)(')(f f 。

4.答案:E解析:)sin cos ()cos (sin )'(sin sin )'()('x x e x e x e x e x e x f xx x x x 22222222-=+-=+=-----。

5.答案:BDF解析:设点),(43-M 关于直线02=-+y x 的对称点为),(b a N ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-++=-+,,022423134b a a b解得),(16-N ,故圆254322=++-)()(y x 关于直线02=-+y x 对称的圆为圆:N 251622=++-)()(y x 。

由题意,点P 到圆N 上的点的最小距离为5,故点P 到圆心N 的最小距离为0或10,即点P 与点N 重合,或在圆1001622=++-)()(y x 上,经检验,点),(70,)(5,2-,),(16-符合题意。

6.答案:ADE解析:由题意可知,切线的斜率存在,设切线方程为 b kx y +=, 因为直线与圆相切,故圆心到直线的距离5162==++=r kb d ||,又将直线方程与抛物线方程联立,得02=--b kx x ,所以042=+=∆b k .解得⎩⎨⎧±=-=,,21k b 或⎩⎨⎧±=-=,,31231k b即圆与抛物线的公切线的方程为12-±=x y 或31312-±=x y . 可知选项是ADE 正确的. 7.答案:BD解析:)sin )(cos sin (cos )cos()sin()(x x x x x f +-=++-=θθθθ ,)cos sin )(sin (cos )('x x x f +--=∴θθ,x x g cos )sin (cos )(θθ-=2,设θθsin cos -=k ,),(24ππθ∈ ,0<∴k ,故x k x g cos )(2=,),(22ππ-∈x . 从而)(x g 一定是偶函数,不是奇函数;又因为函数定义域为有限区间,故函数)(x g 不是周期函数;0<k ,故)(x g 在),(02π-上递减,在),(20π上递增, )()()(5552πππ-=>∴g g g ,而)()(57ππ-<-g g ;很显然020<=k g )(. 8.答案:AF解析:1>||a ,||||)(a x ax x f -++=∴1||||||||||a x ax a x a x a -++≥-++=11, 当且仅当01=+||a x ,即|))||,|((a a aa x -∈--=11时取等号; 又因为|||)()(|||||a a a x a x a x a x +=--+≥-++111,当且仅当01≤-+|))((a x ax 时取等号. 故当a x 1-=时,函数)(x f 的最小值为||a a+1,经代入检验,可知选项AF 正确. 9.答案:ACDF解析:依次写出数列}{n a 和}{n b 的前19项为:0.2;0.4;0.8;1.6;0.6;1.2;0.2;0.4;0.8;1.6;0.6;1.2;0.2;0.4;0.8;1.6;0.6;1.2;0.2…0.2;0.4;0.4;0.2;0.8;0.4;0.6;0.6;0.6;0.4;0.4;0.6;0.8;0.8;0.2;0.8;0.8;0.4;0.6… 可知,去掉前6项后,),(n n b a 是周期为12的数列对.而68121672018++⨯=,故40142018.==a a ,80152019.==a a ,80142018.==b b ,20152019.==b b ,80162020.==b b .经检验,选项ACDF 是正确的. 10.答案:BF解析:由已知,得11223a S S -=,即112123a a a a -=+,故得02=a .n n n a S S 231-=+ ,)(1123-+--=∴n n n n S S S S ,即)(2211≥+=∴-+n S S S n n n ,))((2211≥+=+∴-+n S S S S n n n n ,以及))((22211≥--=--+n S S S S n n n n ,故数列}{1-+n n S S 和}{12--n n S S 是等比数列,1212122---=⋅+=+∴n n n n S S S S )(,以及121211122----=-⋅-=-n n n n S S S S )()()(, 1001001012=+∴S S ;112100100101=-=-)(S S .11.答案:AE解析:由已知,得n n n S n n S S 321+=-+,即n n S nn S )(131+=+, n S n S n n ⨯=+∴+311,故数列}{n Sn 是公比为3的等比数列, 111331--=⋅=∴n n n S n S ,即13-⋅=n n n S . 从而91031832017191820>=⋅⋅=S S ; 3318310320391791981810209=⋅⨯⋅⋅⨯⋅=S S S S ,故选项AE 是正确的. 12.答案:BCF解析:以原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.设点P 的直角坐标为),(y x ,极坐标为),(θρ,则点P 绕原点逆时针旋转45度后,得到点'P 的极坐标为'P ),(4πθρ+,其直角坐标为)','(y x ,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=-=-=+=),()cos sin ()sin('),()sin cos ()cos('y x y y x x 2222422224θρθρπθρθρθρπθρ 因为点'P 在题设参数方程所表示的曲线上,所以⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,','t t y t t x 33于是⎩⎨⎧=-=+,'',''t y x t y x 223即⎪⎩⎪⎨⎧=-=,,t y t x 22223消去参数t ,得x y 23-=,经检验,选项BCF 是正确的.13.答案:AE解析:由已知,得12≤-++≤--+=|||||)()(|||z x z x z x z x z ,当且仅当0≤-+|))((z x z x 时取等号,故412=maxz; 122≤-+-||||x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤⇔,,,122y x x y y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤,,,13322x y x y y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≥,,,122y x x y y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,,,13322y x x y y x在平面直角坐标系中,作出122≤-+-||||x y y x 所表示的图形为矩形ABCD 的边界及其内部,而22y x +的几何意义是点),(y x P 到原点距离的平方,故当点),(y x P 与矩形ABCD 的某一顶点),(3231或),(3132或),(3231--或),(3132--重合时, 22y x +的最大值为95,综上所述, 222z y x++的最大值为36294195=+.故选项AE 是正确的.。

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