立体几何中的向量方法1.（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是 （ ）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(1,3)[解析] 以O 为原点,分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴, 则22cos 4AO PO AOP R •∴∠==,A)0,23,21(),22,0,22(R R P R R 42arccos =∠∴AOP ,42arccos ⋅=∴R P A2. （2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 （ ）A ．55B ．53C ．255D ．35解析:不妨设122CA CC CB ===,11(2,2,1),(0,2,1)AB C B,111111(2)02(2)115cos,595AB C B AB C BAB C B,直线1BC 与直线1AB 夹角为锐角,所以余弦值为55,选A. 3.（2012年高考（天津理））如图,在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面ABCD ,AC 丄AD ,AB 丄BC ,0=45ABC ∠,==2PA AD ,=1AC .(Ⅰ)证明PC 丄AD ;(Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值;(Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为030,求AE 的长.P【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.方法一:（1）以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz - 则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22D C B P -(0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥（2）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =则0202200n PC y z y z x y x z n CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩ 取1(1,2,1)z n =⇒= (2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量630cos ,sin ,66AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>= 得：二面角A PC D --的正弦值为306（3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11(,,),(2,1,0)22BE h CD =-=-23310cos ,2101020BE CD BE CD h BE CDh <>=⇔=⇔=+ 即1010AE =方法二:(1)证明,由PA ⊥平面ABCD ,可得PA AD ⊥,又由,AD AC PA AC A ⊥⋂=,故AD ⊥平面PAC ,又PC ⊂平面PAC ,所以PC AD ⊥.(2)解:如图,作AH PC ⊥于点H ,连接DH ,由,PC AD PC AH ⊥⊥,可得PC ⊥平面ADH .因此,DH PC ⊥,从而AHD ∠为二面角A PC D --的平面角.在Rt PAC ∆中,2,1PA AC ==,由此得25AH =,由(1)知AD AH ⊥,故在Rt DAH ∆中,222305DH AD AH =+=,因此30sin 6AD AHD DH ∠==,所以二面角A PC D --的正弦值为306.4.（2012年高考（新课标理））如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112ACBC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1(1)证明:BC DC ⊥1(2)求二面角11C BD A --的大小.第一问省略 第二问：如图建系:A (0,0,0),P (0,0,26),M (32-,32,0), N (3,0, 0),C (3,3,0).设Q (x ,y ,z ),则(33)(3326)CQ x y z CP =--=--，，，，，. ∵(3326)CQ CP λλλλ==--，，,∴(333326)Q λλλ--，，. 由0OQ CP OQ CP ⊥⇒⋅=,得:13λ=. 即:2326(2)33Q ，，. 对于平面AMN :设其法向量为()n a b c =，，. ∵33(0)=(300)22AM AN =-，，，，，. 则33330012230300a AM n a b b AN n a c ⎧=⎪⎪⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎨⋅=⎪⎪⎪⎩=⎩=⎪⎪⎩. ∴31(0)33n =，，. 同理对于平面AMN 得其法向量为(316)v =-，，. 记所求二面角A —MN —Q 的平面角大小为θ, 则10cos 5n v n vθ⋅==⋅.∴所求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值为105. 5.（2011年安徽）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==△OAB ，,△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （II ）求棱锥F —OBED 的体积。
本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.（I ）（综合法） 证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以OB ∥DE 21，OG=OD=2，=同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合.在△GED 和△GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF.（向量法）过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(--C B F E则有).3,0,3(),23,0,23(-=-=EF BC所以,2BC EF =即得BC ∥EF.（II ）解：由OB=1，OE=2，23,60=︒=∠EOB S EOB 知，而△OED 是边长为2的正三角形，故.3=OED S所以.233=+=OED EOB OBED S S S过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V6.（2011年北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=.(Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC= = =（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD.又因为PA ⊥平面ABCD. 所以PA ⊥BD. 所以BD ⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD=O. 因为∠BAD=60°，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).0,32,0(),2,3,1(=-=AC PB 设PB 与AC 所成角为θ，则4632226||||cos =⨯=⋅⋅AC PB AC PB θ.（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=BC 设P （0，－3，t ）（t>0）， 则),3,1(t BP --=设平面PBC 的法向量),,(z y x m =, 则0,0=⋅=⋅m BP m BC所以⎪⎩⎪⎨⎧-+--=+-03,03tz y x y x 令,3=y 则.6,3t z x == 所以)6,3,3(t m = 同理，平面PDC 的法向量)6,3,3(t n -= 因为平面PCB ⊥平面PDC,所以n m ⋅=0，即03662=+-t解得6=t所以PA=67. （2011年福建）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，︒=∠45CDA ．（I ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ； （II ）设AB=AP ．（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长；（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理 由。
分析： 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。
解法一：（I ）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥， 又,,AB AD PAAD A ⊥=所以AB ⊥平面PAD 。
又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD 。
（II ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A —xyz （如图）在平面ABCD 内，作CE//AB 交AD 于点E ，则.CE AD ⊥ 在Rt CDE ∆中，DE=cos451CD ⋅︒=，sin 451,CE CD =⋅︒=设AB=AP=t ，则B （t ，0，0），P （0，0，t ） 由AB+AD=4，得AD=4-t ，所以(0,3,0),(1,3,0),(0,4,0)E t C t D t ---，(1,1,0),(0,4,).CD PD t t =-=--（i ）设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，由n CD ⊥，n PD ⊥，得0,(4)0.x y t y tx -+=⎧⎨--=⎩取x t =，得平面PCD 的一个法向量{,,4}n t t t =-，又(,0,)PB t t =-，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30︒，得22222|24|1cos 60||,,2||||(4)2n PB t t n PB t t t x ⋅-︒==⋅++-⋅即解得445t t ==或（舍去，因为AD 40t =->），所以4.5AB = （ii ）假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等， 设G （0，m ，0）（其中04m t ≤≤-）则(1,3,0),(0,4,0),(0,,)GC t m GD t m GP m t =--=--=-，由||||GC GD =得222(4)t m m t --=+，（2） 由（1）、（2）消去t ，化简得2340m m -+=（3）由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ， 使得点G 到点P ，C ，D 的距离都相等。